Tallfølge

En tallfølge er en følge hvor elementene er tall. Hvis alle elementene er heltall, kalles følgen en heltallsfølge. Eksempler på slike følger er følgen av primtall og Fibonacci-tallene; slike følger opptrer gjerne i tallteori og kombinatorikk. Mer generelt kan elementene være reelle eller komplekse tall. Slike følger opptrer ofte i analyse og beslektede felt.

Det er vanlig å skrive en følge ved notasjonen

${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}.}$

Indekseringen begynner vanligvis enten med 0 eller 1.

Egenskaper til følger

• En følge er monotont voksende hvis hvert element er like stort eller større enn det foregående; det vil si hvis ${\displaystyle a_{i}\leq a_{i+1}}$. Hvis hvert element er større enn det foregående, kalles følgen strengt monotont voksende. Begrepene monotont synkende og strengt monotont synkende blir analogt definert.
• En følge er begrenset ovenfra hvis følgen har en øvre skranke; det vil si at det finnes et tall ${\displaystyle S}$ slik at ${\displaystyle a_{i}\leq S}$ for alle ${\displaystyle i}$. Tilsvarende er en følge begrenset nedenfra hvis følgen har en nedre skranke.
• En følge hvor annethvert element er positivt og annethvert element er negativt kalles en alternerende følge.
• Hvis alle følgens elementer er like, er følgen en konstant følge.
• Hvis følgen består av gjentagelser av en endelig delfølge, kalles følgen periodisk.

Konvergens

En følge sies å konvergere mot et tall ${\displaystyle a}$ hvis tallene i følgen kommer nærmere og nærmere ${\displaystyle a}$ ettersom indeksen øker. Formelt defineres dette slik:

Hvis det for ethvert åpent intervall ${\displaystyle I}$ rundt ${\displaystyle a}$ finnes et tall ${\displaystyle N}$ slik at ${\displaystyle a_{n}\in I}$ for alle ${\displaystyle n\geq N}$, så konvergerer følgen mot ${\displaystyle a}$, som kalles grenseverdien til følgen.

Alternativt kan man si at ethvert åpent intervall ${\displaystyle I}$ rundt ${\displaystyle a}$ inneholder alle unntatt et endelig antall av følgens elementer. Hvis følgen er en følge av komplekse tall, brukes omegn istedenfor intervall.

Et eksempel på en konvergent følge er følgen ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,\ldots \}}$ som er definert ved at ${\displaystyle a_{n}=1/n}$ for ${\displaystyle n\geq 1}$. Grenseverdien til følgen er 0 fordi hvis man tar et hvilket som helst åpent intervall som inneholder 0, vil alle unntatt et endelig antall av elementene i følgen ligge innenfor intervallet. En følge som ikke konvergerer, sies å divergere. Et eksempel på en divergent følge er ${\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots \}}$, hvor ${\displaystyle a_{n}=n}$; denne følgen er ikke begrenset og kan dermed ikke konvergere. Et annet eksempel er ${\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}$, hvor elementene er 0 og 1 annenhver gang. Selv om en følge ikke har noen grenseverdi, kan den besitte opphopningspunkter. Verdien ${\displaystyle a}$ er et opphopningspunkt for følgen ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ hvis ethvert intervall som inneholder ${\displaystyle a}$ inneholder uendelig mange elementer i følgen. Følgen ${\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}$, som ble nevnt ovenfor, har to opphopningspunkter, nemlig 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelige følger er en viktig del av grunnlaget for analyse. Blant annet er grenseverdien til funksjoner og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følger.