From Wikipedia, the free encyclopedia
Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.
En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:
der er variabelen man bruker i laplacedomenet og er funksjonen som skal transformeres. Her er en kompleks variabel:
Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende
Dette impliserer videre at
og
Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon og som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:
Per definisjon har en funksjon en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle på følgende måte:
der og er konstanter. Siden er stykkevis kontinuerlig, vil også være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:
Hvis en funksjon er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle og konstantene og , vil laplacetransformasjonen eksistere for alle .
Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av , tilfredsstiller følgende:
Det kan bevises ved bruk av induksjon at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon har antall kontinuerlige deriverte for , og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av tilfredsstille:
La være den laplacetransformerte av funksjonen som er stykkevis kontinuerlig for og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for , ( i forhold til vekstrestriksjonen), og , er
som også gir:
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:
Tidsdomene | Laplace s-domene |
---|---|
| |
positiv | |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.