From Wikipedia, the free encyclopedia
Determinanten til en kvadratisk matrise er et reelt eller komplekst tall entydig bestemt av elementene i matrisen. Mer presist kan en si at determinanten er en funksjon med definisjonsmengde lik mengden av alle kvadratiske matriser og med verdimengde lik mengden av reelle eller komplekse tall.
Determinanten til matrisen A betegnes ofte det A eller det(A). Notasjonen |A| brukes også for determinanten, men det er lett å forveksle denne med absoluttverdien av matrisen. Ønsker en å presisere elementene i matrisen skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:
Generelt kan determinanten defineres ved hjelp av Laplaces formel eller ved Leibniz’ formel, begge beskrevet i mer detalj i påfølgende avsnitt.
Determinanten til en 2×2 matrise M er definert ved
Dette er arealet A av et parallellogram med vektorene u = (a,b) og v = (c,d) som sidekanter. På kompakt form kan dets areal derfor skrives som A = det(u, v).
Determinanten til en 3×3-matrise M er definert ved
Denne formelen blir noen ganger omtalt som Sarrus’ regel. Definerer en tre vektorer u = (a,b,c), v = (d,e,f) og w = (g,h,i), så danner de til sammen et parallellepiped. Dets volum er da gitt ved determinanten V = det(M). Den kan skrives som det skalare trippelprodukt V = (u × v)⋅ w = u ⋅( v × w) = det(u,v,w).
La være determinanten til matrisen A, og la være determinanten til den matrisen en får ved å stryke rekke k og kolonne l i den opprinnelige matrisen A. Determinanten kalles minoren til matrise-elementet . Tilsvarende er kofaktoren til matrise-elementet lik minoren med en fortegnsmodifikasjon:
Laplace-ekspansjon av determinanten basert på en vilkårlig kolonne j er gitt ved
Tilsvarende formel gjelder for en vilkårlig rekke i:
Leibniz’ formel for determinanten til en matrise A har forma
Summasjonen skal utføres over alle permutasjoner p av tallene {1, 2, ..., n}. En permutasjon er en funksjon som re-organiserer rekkefølgen til denne heltallsmengden. Fra kombinatorikk er det kjent at det eksisterer n fakultet n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n slike permutasjoner. Mengden av alle permutasjoner danner en gruppe og har vanligvis betegnelsen Sn. For en vilkårlig permutasjon p er sgn(p) dens fortegn eller «signatur» med verdien +1 dersom permutasjonen er jevn og lik −1 dersom permutasjonen er odde.
Løsningen til et lineært ligningssystem kan skrives eksplisitt ved hjelp av determinanter og Cramers regel.
Det karakteristiske polynomet til matrisen A er definert ved ligningen
der I er identitetsmatrisen med samme dimensjon som A. Røttene i det karakteristiske polynomet er egenverdiene til A.
Volumet til et parallellepiped utspent av tre vektorer er lik absoluttverdien av determinanten til 3x3 matrisen definert ved de tre vektorene.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.