Catalantall

Catalantallene er en følge av naturlige tall som ofte forekommer i telleproblemer i kombinatorikk. For n ≥ 0, betegnes det n-te catalantallet C_n, og er gitt ved formelen

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}.}$

De første catalantallene er

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452.

Catalantallene er oppkalt etter den belgiske matematikeren Eugène Charles Catalan. Begrepet «catalantall» (Catalan numbers) ble første gang kjent brukt i 1938 av den skotske matematikeren Eric Temple Bell.^[1]

Egenskaper

Catalantallene vokser asymptotisk som^{[trenger referanse]}

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}.}$

Tallene tilfredsstiller den rekursive formelen^{[trenger referanse]}

${\displaystyle C_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}C_{n-k},}$

som forklarer hvorfor C_n så ofte dukker opp som svaret på kombinatoriske telleproblemer.

Den genererende funksjonen er^{[trenger referanse]}

${\displaystyle C(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}.}$

Anvendelser i kombinatorikk

• C_n er antall måter et polygon med n + 2 kanter kan deles opp i n trekanter ved hjelp av diagonaler som ikke krysser hverandre. For eksempel for n = 3 kan en slik triangulering av femkanten foregå på 5 forskjellige måter:

Eksempler på catalantall i polygoner

• C_n er antall måter n par av venstre- og høyreparenteser '(' og ')' kan skrives etter hverandre slik at hver høyreparentes lukker en venstreparentes.

((()))   (()())   (())()   ()(())   ()()()

• C_n er antall binære trær med n+1 blader.

Eksempler på catalantall som binære trær

Referanser

1. «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)». Jeff Miller. 25. juni 2017. Besøkt 7. februar 2019.

Eksterne lenker

• Catalantallene: følge A000108 i OEIS
• (en) Eric W. Weisstein, Catalan Number i MathWorld.