Divisjon (matematikk)

Divisjon eller deling er innenfor matematikk, spesielt elementær aritmetikk, en regneart som er motsatsen til multiplikasjon. Resultatet av en divisjon kalles en kvotient. Divisjon kan uttrykkes ved flere tegn: ${\displaystyle a:b}$, ${\displaystyle a/b}$, ${\displaystyle a}$ ÷ ${\displaystyle b}$ (særlig på engelsk) eller a/b.

Divisjon er en binær operasjon, definert for to tall a og b, for b ulik null, ved at hvis ${\displaystyle c\cdot b=a}$, er ${\displaystyle a:b=c}$. For eksempel er ${\displaystyle 6:3=2}$, siden ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$. Divisjon med null er ikke definert.

Terminologi

• Dividend er det tallet som skal deles.
• Divisor er det tallet som dividenden skal deles på.
• Kvotienten er forholdstallet mellom dividend og divisor. Kvotienten er altså det tallet som er svaret på regnestykket.
• Rest er det tallet som blir til overs etter hver divisjon.

Divisjonsalgoritmer

Langdivisjon

Et eksempel på divisjonsalgoritmen med farger: Divisoren er det fiolette tallet til venstre, dividenden i midten er gul og kvotienten til høyre grønn. Samtlige rester er farget røde. De blå tallene er subtrahendene, dvs. det tallet som skal trekkes fra det tallet som står på linjen over. Det å sette divisor helt til venstre går tilbake til Leonhard Euler eller enda tidligere.

Langdivisjon er en metode som ble først innført av indiske matematikere og gikk derfra videre til arabiske matematikere. Fra den arabiske verden kom metoden så til Europa, der den har vært kjent ihvertfall siden 1200-tallet. Metoden kalles gjerne for en algoritme. Dette spesielle ordet stammer også fra arabisk, der det imidlertid var navnet på den persiske matematikeren som skrev ned denne metoden. Han het Al-Khwârizmî.

I eksempelet er dividenden tallet 8552. Divisor er tallet 37 og kvotienten (svaret på divisjonen) er 231. Det røde 5-tallet som står helt nederst, er selve regnestykkets rest: 5 er altså det tallet som blir til overs etter at divisjonen er ferdig. Hadde dividenden vært 5 mindre, dvs. hadde dividenden vært 8547, så hadde divisjonen gått opp, og resten (det nederste røde tallet) ville da ha vært null.

Etter hver subtraksjon trekker man ned neste siffer i dividenden. Dette er angitt med de prikkede linjene i figuren. Når samtlige siffer i dividenden er blitt trukket ned, er regnestykket ferdig. Det er den siste resten man da får, som er selve regnestykkets rest.

Divisjonsregler

Det finnes flere divisjonsregler.

1. En potensregel som sier at en potens delt på en annen potens av samme grunntall er lik en potens med samme grunntall og eksponent lik eksponenten i den første potensen minus eksponenten i den andre potensen.

   Eksempel: ${\displaystyle {a^{x} \over a^{y}}=a^{x-y}}$

2. En regneregel for kvadratrøtter som sier at kvadratroten av en brøk er lik kvadratroten av telleren delt på kvadratroten av nevneren.

   Eksempel: ${\displaystyle {\sqrt {x \over y}}={{\sqrt {x}} \over {\sqrt {y}}}}$

Heltallsdivisjon

Heltallsdivisjon er en binær operasjon definert for to heltall a og b, for b ulik null, den vil alltid gi et heltall c som svar: For et tall a slik at

${\displaystyle a\cdot b+r=c}$

der r er et tall mellom 0 og b (r for rest), vil

${\displaystyle a/b=\left\lfloor c\right\rfloor }$

Dette tilsvarer å utføre en normal divisjon på a og b og så runde ned til nærmeste heltall. Heltallsdivisjon brukes ofte sammen med beregning av modulo, som beregner r istedenfor c.

Heltallsdivisjon brukes innen både ren matematikk og informatikk. I flere programmeringsspråk, f.eks. C, angir ${\displaystyle /}$ heltallsdivisjon hvis både dividend og divisor er heltall; i andre språk, f.eks. MATLAB, angir dette alltid normal divisjon.

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Division i MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, IntegerDivision i MathWorld.