Imaginær enhet

I matematikk er den imaginære enhet ${\displaystyle i}$ et komplekst tall med egenskapen ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall ${\displaystyle z}$ kan skrives på formen ${\displaystyle z=a+bi}$, der ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er reelle tall. Dersom ${\displaystyle a}$ er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

i og −i

Likningen ${\displaystyle x^{2}=-1}$ har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning ${\displaystyle i}$ av likningen er fastslått, er også ${\displaystyle -i\,(\neq i)}$ en løsning.

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$, identiteten og automorfismen som sender ${\displaystyle X}$ til ${\displaystyle -X}$. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til ${\displaystyle \mathbb {C} }$; men de er de eneste feltautomorfismene til ${\displaystyle \mathbb {C} }$ hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}{\mbox{ og }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}}$ er løsninger av likningen ${\displaystyle x^{2}=-1}$. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen ${\displaystyle \mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$ har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle ${\displaystyle x>0}$, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}$

Beregningsreglen

${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$ er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$.

Potenser av i

Potensene av ${\displaystyle i}$ gjentas i en syklus:

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle i^{5}=i}$

${\displaystyle i^{6}=-1}$

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor ${\displaystyle n}$ er et vilkårlig heltall:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

i og Eulers formel

Hvis man tar Eulers formel ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$, og setter inn ${\displaystyle x=\pi /2}$, får man

${\displaystyle e^{i\pi /2}=i}$

Hvis begge sider opphøyes i potensen ${\displaystyle i}$, idet man husker at ${\displaystyle i^{2}=-1}$, får man følgende identitet:

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}=0{,}2078795763\dots }$

Det er lett å fastslå at ${\displaystyle i^{i}}$ har et uendelig antall løsninger på formen

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}}$

hvor ${\displaystyle N}$ er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som ${\displaystyle j}$ for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.