Eksklusjon (logikk)

Eksklusjon er en grunnleggende sannhetsfunksjon i setningslogikken (latin exclusio = «utestengning»). Eksklusjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis minst ett av disse utsagnene er falske. Den symbolske skrivemåten for eksklusjonen av to utsagn A og B bruker den såkalte Sheffer-streken:

${\displaystyle \mathbf {A} \mid \mathbf {B} }$

og kan uttales som følger:

• «høyst én av A og B,»
• «ikke begge av A og B,»
• «A og B utelukker hverandre.»

I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «NAND» istedenfor «|». «NAND» er avledet av det engelske uttrykket not and. Dette kommer av at eksklusjonen er negasjonen av en «logisk og»:
${\displaystyle (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {B} \land \mathbf {A} )}$.

Sheffer-streken er oppkalt etter logikeren Henry Maurice Sheffer, som beskrev noen av eksklusjonens interessante egenskaper. Blant annet kan alle andre sannhetsfunksjonene uttrykkes gjennom eksklusjonen:

• negasjon («ikke»), ${\displaystyle \neg \mathbf {A} \Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )}$;
• inklusiv disjunksjon («eller»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \lor \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\neg \mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))}$;
• konjunksjon («og»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \land \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} ))}$;
• subjunksjon («hvis»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))}$;
• bisubjunksjon («hvis og bare hvis»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} )))}$;
• eksklusiv disjunksjon («enten–eller»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid \mathbf {B} ))}$;
• tilsvarende fungerer for de resterende sannhetsfunksjonene.

Setningslogikk

Sannhetstabell (0 = usant, 1 = sant): A B usant A og B A, men ikke B A ikke A, men B B enten A eller B A eller B verken A eller B hviss A, så B ikke B A hvis B ikke A hvis A, så B A NAND B sant 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

Sannhetsfunksjoner: abjunksjon | inklusiv disjunksjon (adjunksjon) | bisubjunksjon (ekvijunksjon,ekvivalens) | eksklusjon | subjunksjon (implikasjon) | injunksjon | konjunksjon | eksklusiv disjunksjon (alternativ, antivalens, kontrajunksjon, kontravalens) | negasjon