Cauchy–Riemanns ligninger

I kompleks analyse i matematikk betegner Cauchy–Riemanns ligninger to partielle differensialligninger, som blant annet angir nødvendige betingelser for at en kompleks funksjon skal være deriverbar. Ligningene har navnet sitt fra de to matematikerne Augustin Louis Cauchy og Bernhard Riemann, men ble også studert tidligere. De forekommer for første gang i arbeidene til d’Alembert^[1] i 1752, og i 1777 fant Euler en sammenheng mellom dette systemet og analytiske funksjoner.^[2] I 1814 brukte Cauchy ligningene til å konstruere sin funksjonsteori,^[3] mens Riemanns avhandling^[4] om funksjonsteori ble publisert i 1851.

Cauchy–Riemann-ligningene for to reelle funksjoner u(x,y) og v(x,y) er de to ligningene

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$

og

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Som sagt angir ligningene en nødvendig betingelse for at en kompleks funksjon skal være deriverbar. La f(z) være en kompleks funksjon slik at f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Da er f(z) deriverbar i z₀ = x₀ + iy₀ hvis og bare hvis de partielle deriverte til u og v eksisterer i (x₀,y₀) og Cauchy–Riemann-ligningene er tilfredsstilt i dette punktet.

Referanser

1. J. d’Alembert (1752) Essai d’une nouvelle théroie de la résistance des fluides^{[død lenke]}, Paris
2. L. Euler (1777) Nova Acta Acad. Sci. Petrop. 10: 3–19.
3. A. L. Cauchy (1814), Mémoire sur les intégrales définies, Œuvres compolètes Ser. 1, 1, Paris (publisert 1882), s. 319–506.
4. B. Riemann (1851), «Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse», i H. Weber, Riemanns gesammelte math. Werke, Dover, 1953, s. 3–48