Binomialkoeffisient
From Wikipedia, the free encyclopedia
Binomialkoeffisienten er en grunnleggende matematisk funksjon i det matematiske delområdet kombinatorikk. Den angir hvor mange forskjellige kombinasjoner en kan velge objekter fra en mengde av ulike objekter (uten tilbakelegging, uavhengig av rekkefølgen). Sagt på en annen måte angir binomialkoeffisienten antall delmengder med elementer i en mengde med elementer.
Binomialkoeffisienten av et naturlig tall n og et heltall k er definert som det naturlige tallet
og som er null når k < 0 eller k > n. Her betegner n! fakultetet av n. Ifølge Nicholas J. Higham, ble denne notasjonen introdusert av Albert von Ettinghausen i 1826, selv om disse tallene var kjent i århundrer før dette; se Pascals trekant.
Binomialkoeffisienten av n og k blir også skrevet som C(n, k), nCk eller (C står for det engelske ordet combination) og leses «n over k». For å spare plass bruker vi den første av disse tre notasjonene.
For eksempel kan binomialkoeffisienten brukes til å beregne hvor mange mulige tallkombinasjoner som finnes i Lotto:
Hvilket igjen betyr at sannsynligheten for å få sju rette i Lotto på en gitt rekke er:
Binomialkoeffisientene er koeffisienter i utvidelsen av binomet (derav navnet):
Dette generaliseres ved binomialformelen, som tillater eksponenten n å være et komplekst tall, (spesielt tillater dette n å være ethvert reelt tall, ikke nødvendigvis bare positive heltall).