From Wikipedia, the free encyclopedia
I matematikken er 1 − 2 + 3 − 4 + … den uendelige rekken hvis ledd er de positive heltallene i økende rekkefølge, med alternerende fortegn. Summen av de m første leddene i rekken uttrykkes med summenotasjon som
Den uendelige rekken divergerer, i den forstand at følgen av delsummene (1, −1, 2, −2, …) ikke går mot noen endelig grense. Ekvivalent sier man at 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum.
På tross av dette skrev Leonhard Euler på midten av 1700-tallet noe han innrømte var en paradoksal ligning:
En rigorøs forklaring på denne ligningen kom ikke før langt senere. Fra 1890 av satte Ernesto Cesàro, Émile Borel og andre igang undersøkelser av veldefinerte metoder for å utlede generaliserte summer til divergerende rekker – inkludert nye tolkninger av Eulers forsøk. Mange av disse summeringsmetodene leder greit til at 1 − 2 + 3 − 4 + … har en «sum» på 1/4 likevel. Cesàro-summering er én av få metoder som ikke summerer 1 − 2 + 3 − 4 + …, så denne rekken er et eksempel hvor en litt sterkere metode, som f.eks. abelsk summasjon, er nødvendig.
Rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … er nært relatert til Guido Grandis rekke 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler behandlet disse to som spesialtilfeller av 1 − 2n + 3n − 4n + … for en vilkårlig n. Dette var en utvidelse av hans arbeid knyttet til Basel-problemet og ledet til funksjonalligningene vi nå kjenner for Riemanns zetafunksjon og Dirichlets etafunksjon.
Rekkens ledd (1, −2, 3, −4, …) nærmer seg ikke 0; derfor divergerer 1 − 2 + 3 − 4 + … ved en divergenstest. For senere bruk, vil det også være nyttig å se divergensen på et fundamentalt nivå. Per definisjon er konvergensen eller divergensen til en uendelig rekke bestemt ved konvergensen eller divergensen av dens følge med delsummer, og delsummene av 1 − 2 + 3 − 4 + … er:[1]
Denne følgen treffer hvert heltall én gang – til og med 0 dersom man regner med den tomme delsummen – og viser dermed at mengden med heltall er tellbar.[2] Den konvergerer åpenbart ikke mot et spesifikt tall, så 1 − 2 + 3 − 4 + … divergerer.
Siden leddene 1, −2, 3, −4, 5, −6, … følger et enkelt mønster, kan rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … manipuleres ved bytting og summeres ledd-for-ledd for å oppnå en numerisk verdi. Hvis man på en logisk måte kan skrive s = 1 − 2 + 3 − 4 + … for et vanlig tall s, vil følgende manipulasjoner argumentere for s = 1/4:[3]
Så . Denne utledningen vises grafisk på bildet til høyre.
Selv om 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum i egentlig forstand, kan ligningen s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 bli støttet som det mest naturlige svaret, dersom en slik sum skal defineres. En generalisert definisjon av «summen» av en divergent rekke blir kalt summemetoden eller summabilitetsmetoden, som summerer noen delmengder av alle mulige rekker. Det finnes mange forskjellige metoder (noen av disse blir forklart nedenfor). Disse karakteriseres ved hvilke egenskaper de har til felles med normal summering. De ovenstående manipulasjonene beviser følgende: Gitt en hvilken som helst summemetode som er lineær og stabil og som summerer rekken 1 − 2 + 3 − 4 + …, så vil summen bli 1/4. Videre, siden
må en slik metode også summere Grandis rekke som 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2.
I 1891 uttrykte Ernesto Cesàro håp om at divergente rekker ville bli ledet mot infinitesimalregning, og påpekte at «Man skriver allerede (1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … og hevder at begge sidene er lik 1/4.»[4] For Cesàro var denne ligningen en anvendelse av et teorem som han hadde offentliggjort året før, som kanskje var det første teoremet i summerbare divergerende rekkers historie. Detaljene rundt summeringsmetoden vises under; den grunnleggende tanken er at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … med 1 − 1 + 1 − 1 + ….
Cauchy-produktet av to uendelige rekker defineres selv om begge divergerer. I dette tilfellet, hvor Σan = Σbn = Σ(−1)n, er leddene i Cauchy-produktet gitt ved de endelige diagonale summene
Produktrekken er da
Derfor vil en summeringsmetode som tar hensyn til Cauchy-produktet av to rekker og summer 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2, også summere 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4. Med resultatet fra forrige avsnitt, impliserer dette en ekvivalens mellom summabiliteten av 1 − 1 + 1 − 1 + … og 1 − 2 + 3 − 4 + … med metoder som er lineære, stabile og som respekterer Cauchy-produktet.
Cesàros teorem er et spissfindig eksempel. Rekken 1 − 1 + 1 − 1 + … er Cesàro-summerbar i svakeste forstand, kalt (C, 1)-summerbar, mens 1 − 2 + 3 − 4 + … krever en sterkere form av Cesàros teorem[5], siden den er (C, 2)-summerbar. Siden alle formene av Cesàros teorem er lineære og stabile, blir verdien av summene akkurat som utregnet.
For å finne (C, 1) Cesàro-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + …, dersom den eksisterer, må man regne ut det aritmetiske gjennomsnittet av delsummene i rekken. Delsummene er
og de aritmetiske gjennomsnittene av disse delsummene er
Denne følgen av gjennomsnitt konvergerer ikke, så 1 − 2 + 3 − 4 + … er ikke Cesàro-summerbar.
Det eksisterer to velkjente generaliseringer av Cesàro-summering: den konseptuelt enkleste av disse er følgen av (H, n)-metoder for naturlige tall n. (H, 1)-summen er Cesàro-summering, og høyere metoder gjentar utregningen av gjennomsnitt. Over konvergerer de like gjennomsnittene mot 1/2, alle de andre gjennomsnittene er lik 0, så gjennomsnittene av gjennomsnittene konvergerer mot middelverdien av 0 og 1/2, som er 1/4.[6] Så 1 − 2 + 3 − 4 + … er (H, 2) summerbar til 1/4.
«H» står for Otto Hölder, som først beviste i 1882 hva matematikere nå anser som sammenhengen mellom Abel-summasjon og (H, n)-summering; 1 − 2 + 3 − 4 + … var hans første eksempel.[7] Det at 1/4 er (H, 2)-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + … garanterer at det også er den abelske summen; dette vil også bli direkte bevist nedenfor.
Den andre vanlige generaliseringen av Cesàro-summeringen er følgen av (C, n)-metoder. Det har blitt bevist at (C, n)-summering og (H, n)-summering alltid gir samme resultat, men de har forskjellige historiske bakgrunner. I 1887 var Cesàro nær en definisjon på (C, n) summeringen, men han ga bare noen få eksempler. I hovedsak; han summerte 1 − 2 + 3 − 4 + …, til 1/4 med en metode som kan omskrives til (C, n), men som ikke var godtatt på den tiden. Han definerte formelt (C, n) metoder i 1890, for å kunne underbygge sitt teorem om at Cauchy-produktet av en (C, n)-summerbar rekke og en (C, m)-summerbar rekke er (C, m + n + 1)-summerbar.[8]
I et skriv fra 1749 innrømmer Leonhard Euler at rekken divergerer, men forbereder seg på å summere den likevel:
«...når det blir sagt at summen av denne rekken 1−2+3−4+5−6 etc. er 1/4, må det se paradoksalt ut. For ved å addere 100 ledd i denne rekken får vi −50, og likevel, summen av 101 ledd gir +51, noe som er ganske forskjellig fra 1/4, og den blir enda større når man øker antall ledd. Men jeg har tidligere lagt merke til at det er nødvendig å gi ordet sum en mer utfyllende mening….»[9]
Euler ba om en generalisering av ordet «sum» flere ganger. I tilfeller av 1 − 2 + 3 − 4 + …, er ideene hans like med det vi idag kjenner som abelsk summasjon:
«...det er ikke lenger tvil om at summen av denne rekken 1−2+3−4+5 + etc. er 1/4, siden det kommer fra utvidelsen av formelen 1/(1+1)2 som unektelig har en verdi på 1/4. Dette blir klarere hvis man tar for seg den generelle rekken 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. som kommer frem når man utvider uttrykket 1/(1+x)2, som denne rekken definitivt er lik med, etter at vi setter x = 1.»[10]
Det finnes mange måter å se at, spesielt for absoluttverdier |x| < 1, har Euler rett i at
Man kan ta taylorrekken av høyresiden, eller foreta vanlig polynomdivisjon. Ved å starte på venstresiden, kan man følge den typiske heuristikken ovenfor og prøve å multiplisere to ganger med (1+x) eller å ta kvadratroten av den geometriske rekken 1 − x + x2 − …. Euler ser også ut til å foreslå derivasjon av den siste rekken, ledd for ledd.[11]
Sett fra et moderne ståsted, definerer ikke rekken 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … en funksjon ved x = 1, så den verdien kan ikke omgjøres til det resulterende uttrykket. Siden funksjonen er definert for alle |x| < 1, kan man likevel ta grenseverdien når x går mot 1, og dette er definisjonen av den abelske summen:
Euler innførte en annen teknikk for rekken som vanligvis omtales som en « Euler-transformasjon». Den består i å begynne med følgen med positive ledd som skaper de alternerende rekkene — i dette tilfellet 1, 2, 3, 4, …. Det første elementet i denne følgen er merket a0.
I neste omgang trenger følgen av fremtidige differanser i 1, 2, 3, 4, …; dette er bare 1, 1, 1, 1, …. Det første elementet i denne følgen er merket Δa0. Euler-transformasjonen avhenger også av differanser av differanser, og høyere gjentakelser, men alle fremtidige differanser i 1, 1, 1, 1, … er 0. Euler-transformasjonen av 1 − 2 + 3 − 4 + … er dermed definert som
I moderne terminologi sier man at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Euler-summerbar med 1/4.
Euler-summeringen impliserer også en annen type summering. Ved å skrive 1 − 2 + 3 − 4 + … som
har man en relatert, «evig-konvergent» rekke
Borel-summering av 1 − 2 + 3 − 4 + … er derfor[12]
Saichev og Woyczyński havner på 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 ved å bruke to fysiske lover: infinitesimalsk avslapping og separering av skalaer. Altså leder disse lovene dem til definisjonen av et bredt system som "φ-summeringsmetoder", hvor alle summerer rekken til 1/4:
Dette resultatet generaliserer Abel-summeringen, som kan finnes ved å la φ(x) = exp(−x). Det generelle uttrykket kan finnes ved å sette leddene i par i en rekke over m og konvertere uttrykket til et Riemann-integral. For det sistnevnte, vil det tilsvarende beviset for 1 − 1 + 1 − 1 + … gi oss middelverditeoremet, men her trenger man sterkere Lagrange-form av Taylors teorem.
Det tredoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 3 + 6 − 10 + …, den alternerende rekken av trekanttall; dens Abel- og Euler-sum er 1/8.[14] Det firedoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 4 + 10 − 20 + …, den alternerende rekken av tetraedriske tall, som har en Abel-sum på 1/16.
En annen generalisering av 1 − 2 + 3 − 4 + … i en litt annen retning er rekken 1 − 2n + 3n − 4n + … for andre verdier av n. For positive heltall n, har rekken følgende Abel-summer:[15]
hvor Bn er Bernoulli-tallene. For n i partall, reduseres denne til
Denne siste summen ble latterliggjort av Niels Henrik Abel i 1826:
Cesàros lærer, Eugène Charles Catalan, pratet også nedsettende om divergente rekker. Påvirket av Catalan, refererte Cesàro først til de «konvensjonelle formlene» for 1 − 2n + 3n − 4n + … som «absurde likheter», og i 1883 uttrykte Cesàro et typisk synspunkt på den tiden, om at formlene var falske, men merkelig nok likevel nyttige. Til slutt, i hans Sur la multiplication des séries fra 1890, tok Cesàro en moderne tilnærming som startet med definisjoner.[17]
Rekken blir også undersøkt for verdier av n som ikke er heltall; disse utgjør Dirichlets etafunksjon. Deler av Eulers motivasjon for å undersøke rekker som er relatert til 1 − 2 + 3 − 4 + … var funksjonalligningen for etafunksjonen, som leder direkte til funksjonalligningen for zetafunksjonen. Euler hadde allerede blitt kjent for å finne verdiene av disse funksjonene for positive partall (inkludert Basel-problemet), og han prøvde å finne verdiene av positive oddetall (inkludert Apérys konstant), et problem som fortsatt er unnvikende. Spesielt eta-funksjonen er lettere å hanskes med i Eulers metoder, siden dens Dirichlet-rekker er Abel-summerbare overalt; zeta-funksjonens Dirichlet-rekke er mye vanskeligere å summere der den divergerer.[18] For eksempel, motparten av 1 − 2 + 3 − 4 + … i zeta-funksjonen er den ikke-alternerende rekken 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, som har store anvendelsesområder i moderne fysikk, men krever kraftigere metoder for å summere.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.