Potensmengd

Potensmengden til ei gitt mengd ${\displaystyle X}$ består i matematikken av alle delmengder av ${\displaystyle X}$. Me skriv often potensmengden til ei mengd ${\displaystyle X}$ som anten ${\displaystyle 2^{X}}$ eller ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

Fleire matematiske strukturar på ei mengd ${\displaystyle X}$ er definert som delmengder av ${\displaystyle 2^{X}}$ som oppfyller visse krav. Sjå til døme topologiske rom og ${\displaystyle \sigma }$-algebra

Definisjon

La ${\displaystyle X}$ vera ei mengd. Formelt kan me definere potensmengden ${\displaystyle 2^{X}}$ til ${\displaystyle X}$ som følgjer:

${\displaystyle 2^{X}=\{A|A\subseteq X\}}$

Me ser med det same at både ${\displaystyle X}$ sjølv og den tomme mengda ${\displaystyle \emptyset }$ er i ${\displaystyle 2^{X}}$.

Eksempel

La ${\displaystyle X=\{a,b\}}$. Potensmengda til ${\displaystyle 2^{X}}$ består av alle fire delmengda til ${\displaystyle X}$. Desse er

${\displaystyle \emptyset ,X,\{a\},\{b\}}$

Generelt, viss ${\displaystyle X}$ er ei mengd med ${\displaystyle n}$ element, så har ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ element.

Eit interessant tilfelle er ${\displaystyle 2^{\emptyset }}$. Denne mengda består av ${\displaystyle \{\emptyset \}}$.

Resultat

Georg Cantor har prova at potensmengda til ei kvar mengd ${\displaystyle X}$ er større enn (har større kardinalitet enn) ${\displaystyle X}$ sjølv.

Denne matteartikkelen er ei spire. Du kan hjelpe Nynorsk Wikipedia gjennom å utvide han.