Proporsjon i matematikk

I matematikk er proporsjonalitet eller proporsjon når to storleikar varierer slik at tilhøvet mellom storleikane er konstant.

Definisjon

Når ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle x}$ er proporsjonale storleikar, kan vi skrive

${\displaystyle y=k\cdot x\,}$

Der ${\displaystyle k}$ er proporsjonalitetsfaktoren.

Ein kan vidare finne ${\displaystyle k}$ slik

${\displaystyle k=y/x\,}$

Døme

• Praktisk kan vi sei at to storleikar er proporsjonale om ei dobling av den eine storleiken fører til ei dobling av den andre storleiken.
• Om du køyrer med konstant fart, er distansen du tilbakelegger, proporsjonal med tida du bruker. Det ser vi av formelen for konstant fart ${\displaystyle s=vt}$, der farten ${\displaystyle v}$ er proporsjonalitetsfaktoren.
• Omkrinsen av ein sirkel er proporsjonal med radius i sirkelen, og ${\displaystyle 2\pi }$ er proporsjonalitetsfaktoren etter formelen ${\displaystyle O=2\pi r}$.
• Krafta ein må bruke for å løfte ein lekam frå bakken, er proporsjonal med massen av lekamen, der tyngdeakselerasjonen (9,81${\displaystyle m/s^{2}}$) er proporsjonalitetsfaktoren.

Eigenskapar

Sidan

${\displaystyle y=k\cdot x\,}$

er òg

${\displaystyle x=(1/k)\cdot y\,}$

Dette tyder at om ${\displaystyle y}$ er proporsjonal med ${\displaystyle x}$ med proporsjonalitetsfaktor ${\displaystyle k}$, så er ${\displaystyle x}$ proporsjonal med ${\displaystyle y}$ med proporsjonalitetsfaktor ${\displaystyle 1/k}$.

Om ${\displaystyle y}$ er proporsjonal med ${\displaystyle x}$, vil grafen med ${\displaystyle y}$ som funksjon av ${\displaystyle x}$ vere ein rett linje, og den vil gå gjennom origo. Stigingstalet vil vere lik proporsjonalitetsfaktoren.

Omvendt proporsjonalitet

To storleikar er omvendt proporsjonale om den eine variabelen er proporsjonal med den inverse av den andre, eller sagt på ein annan måte: produktet av variablane er konstant. Når to storleikar ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ er omvendt proporsjonale, kan vi skrive

${\displaystyle y=k/x\,}$

Der ${\displaystyle k}$ er forskjellig frå null. Det vil sei at om den eine variabelen doblast, vil den andre halverast, slik at produktet av dei alltid er konstant.

Til dømes er tida det tar å køyre ein distanse omvendt proporsjonal med farten man reiser med.

Uttrykt grafisk vil ein graf med to variable som varierer inverst, bli ei hyperbel-linje. Produktet av x- og y-verdiane vil alltid vere lik proporsjonalitetsfaktoren ${\displaystyle k}$. Av dette følgjer at sidan ${\displaystyle k}$ ikkje kan vere null, vil grafen heller ikkje krysse nokon av aksane.

Symbol

Ein nyttar ofte symbolet '∝' for å syna at ein storleik er proporsjonal med ein annan. Til dømes, om A er proporsjonal med B skriv ein A ∝ B. Likeeins, om A er omvendt proporsjonal med B skriv ein A ∝${\displaystyle ^{-1}}$ B.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Proporsjonalitet» frå Wikipedia på bokmål, den 17. september 2011.