Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$, som vart innført av Leopold Kronecker, er ein funksjon i to variablar. Det vert òg kalla Kronecker-symbol og delta-funksjon vert og nytta.

Definisjon

Kronecker-delta vert definert som:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{for }}i=j\\0&{\mbox{for }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

der i og j er element i ei mengde ${\displaystyle I}$.

Eigenskapar

• Kronecker-delta vert ofte skiven som

${\displaystyle \delta =\mathrm {1} _{D}:I\times I\to \{0,1\}}$,

når den står for den karakteristiske funksjonen ${\displaystyle \mathrm {1} _{D}}$ i ei diagonalmengd.

${\displaystyle D=\{(i,j)\in I\times I:\;i=j\}}$.

Døme på bruk

• Innan lineær algebra vert symbolet nytta for å uttrykka einheitsmatrisa ${\displaystyle n\times n}$ som ${\displaystyle (\delta _{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$. Til dømes kan ei 3x3 einheitsmatrise uttrykkast som:

${\displaystyle (\delta _{ij})_{1\leq i\leq 3,\,1\leq j\leq 3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

• Kronecker-delta kan nytta for å uttrykka skalarproduktet av to orthonormale vektorar:

${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ als ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$.

• Innan digital signalhandsaming og reguleringsteknikk vert symbolet nytta for å representera ein impuls:

${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

Sjå òg

• Levi-Civita-symbol.