Kovarians

Kovarians er eit mål på den lineære samanhengen mellom to varierande storleikar.

Teoretisk kovarians

Teoretisk kovarians er eit mål på den underliggjande lineære samanhengen mellom to stokastiske variablar. Kovariansen mellom ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ får ofte notasjonen ${\displaystyle \sigma _{XY}}$. For to stokastiske variablar ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ er kovariansen definert som

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]}$

der ${\displaystyle E[\cdot ]}$ markerer forventningsverdi.

Empirisk kovarians

Empirisk kovarians er eit estimat av den teoretiske kovariansen. Ein estimator for den empiriske kovariansen er

${\displaystyle {\widehat {\operatorname {Cov} }}[X,Y]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})(y_{i}-{\bar {y}}_{n})}$

der ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$ er gjennomsnittet av ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ og ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$ er gjennomsnittet av ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$.

Eigenskapar

Kovariansen er avhengig av måleskalaen, slik at om skalaen vert endra vil kovariansen òg verta endra. Difor er korrelasjon, som ikkje er avhengig av skala, eit godt alternativ når ein vil måla lineær samanheng.

For vilkårlege konstantar ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ og stokastiske variablar ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ gjeld

1. ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Cov} [aX+b,cY+d]=ac\,\operatorname {Cov} [X,Y]}$