Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er eitt av fleire sentralmål som seier noko om kva som er den typiske verdien av ei gruppe tal. Den vanlegaste måten å rekna ut gjennomsnitt på, er å summera alle verdiane, og dinest dela summen på talet på verdiar. Dette er eit aritmetisk gjennomsnitt, eller berre gjennomsnitt. Ordet gjennomsnitt kan ofte kortast ned til berre snitt.

Døme på gjennomsnitt

Aritmetisk gjennomsnitt

Det aritmetiske snittet er det «vanlege» gjennomsnittet, gjerne berre kalla gjennomsnittet.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

Til dømes er det aritmetiske snittet av seks verdiar: 34, 27, 45, 55, 22, 34:

${\displaystyle {\frac {34+27+45+55+22+34}{6}}={\frac {217}{6}}\approx 36.167.}$

Dersom ein har ei diskret sannsynsfordeling finn ein gjennomsnittet av ein diskret, stokastisk variabel x ved å finna produktet av kvar mogleg x og sannsynet for denne verdien P(x), og dinest summera produkta til ${\displaystyle \mu =\sum xP(x)}$.

Geometrisk gjennomsnitt

Det geometriske snittet er eit snitt som er nyttig dersom ein har eit sett positive verdiar der ein tolkar verdiane ut frå produktet deira, og ikkje summen. Eit døme på slike verdiar er vekstratar.

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\tfrac {1}{n}}}$

Til dømes er det geometriske snittet seks verdiar: 34, 27, 45, 55, 22, 34

${\displaystyle (34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34)^{1/6}=1,699,493,400^{1/6}\approx 34.545.}$

Harmonisk gjennomsnitt

Det harmoniske snittet er eit snitt som er nyttig dersom ein har eit sett av verdiar som er definerte i relasjon til ei eller anna måleining, til dømes fart (avstand per tidseining).

${\displaystyle {\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Til dømes er det harmoniske snittet av seks verdiar: 34, 27, 45, 55, 22, and 34

${\displaystyle {\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}={\frac {60588}{1835}}\approx 33.0179836.}$

Tilhøvet mellom aritmetisk, geometrisk og harmonisk snitt

For alle sett av verdiar er fylgjande ulikskapar oppfylte:

${\displaystyle AM\geq GM\geq HM\,}$

Likskap mellom snitta har ein berre når alle verdiane i settet er like.

Generalisert gjennomsnitt

generalisert snitt, potenssnitt, og Höldersnitt er tre namn på det same. Dette snittet er ein abstraksjon frå aritmetisk, geometrisk, harmonisk og kvadratisk snitt: alle desse er spesialtilfelle av det generaliserte snittet. Snittet er definert for eit sett av n positive verdiar x_i av

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{\tfrac {1}{m}}}$

Ved å setja inn ulike verdiar for parameteret m, finn me alle snitta:

${\displaystyle m\rightarrow \infty }$	maksimumsverdien i settet
${\displaystyle m=2}$	kvadratisk gjennomsnitt
${\displaystyle m=1}$	aritmetisk gjennomsnitt
${\displaystyle m\rightarrow 0}$	geometrisk gjennomsnitt
${\displaystyle m=-1}$	harmonisk gjennomsnitt
${\displaystyle m\rightarrow -\infty }$	minimumsverdien i settet

Vekta aritmetisk gjennomsnitt

Det vekta aritmetiske gjennomsnittet nyttar ein dersom ein vil kombinera snittverdiane for fleire utval av den same populasjonen med ulik utvalsstorleik:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}.}$

Vektene ${\displaystyle w_{i}}$ representerer talet på observasjonar i kvart utval. Dersom ein til dømes vil ha gjennomsnittsalderen for alle ungane i barnehagane i ein kommune, kan ein finna dette ved å ta utgangspunkt i snittalderen for kvar barnehage og vekta verdiane med talet på ungar i kvar barnehage.