Matematisk gruppe

Ei gruppe er ein algebraisk struktur ${\displaystyle (G,*)}$ som består av ei ikkje-tom mengd ${\displaystyle G}$ og ein binær operasjon ${\displaystyle *:G\times G\to G}$ slik at følgande aksiom held. For alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$, har me

• (assosiativitet) ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$
• (identitetselement) det finst ${\displaystyle e\in G}$ slik at ${\displaystyle a*e=e*a=a}$
• (inverselement) det finst ${\displaystyle a^{-1}\in G}$ slik at ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$

Dersom også

• (kommutativitet) ${\displaystyle a*b=b*a,}$

er ${\displaystyle (G,*)}$ ei abelsk gruppe.

Andre teikn i staden for ${\displaystyle *}$ nyttast ofte. T.d., er ${\displaystyle \cdot }$ mykje brukt og ein skriv ofte ${\displaystyle ab}$ i staden for ${\displaystyle a\cdot b}$. Viss ${\displaystyle G}$ er ei abelsk gruppe, nyttar ein ofte ${\displaystyle +}$.

Eksempel

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ kor ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ er mengda av heiltal og ${\displaystyle +}$ er ordinær addisjon, er ei abelsk gruppe. Her er identitetselement ${\displaystyle 0}$ og inverselementet til ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ er ${\displaystyle -a\in \mathbb {Z} }$.

Sjå òg

• Ring
• Kropp
• Abelsk gruppe