Delmengd

Ei delmengd A av ei mengd B er ei mengd som er slik at alle elementa i A også er element i B. Me skriv ${\displaystyle A\subseteq B}$. Dersom me samtidig veit at A og B ikkje er identiske, så er A ei ekte delmengd av B og me skriv ${\displaystyle A\subset B}$. Dersom A er ei ekte delmengd av B, så er ho også ei delmengd av B.

Eigenskapar

La ${\displaystyle 2^{A}}$ vera potensmengda til ei mengd ${\displaystyle A}$. Då induserer ${\displaystyle \subseteq }$ ein partiell orden på ${\displaystyle 2^{A}}$:

• ${\displaystyle B\subseteq B}$
• Dersom ${\displaystyle B\subseteq C}$ og ${\displaystyle C\subseteq B}$, så er ${\displaystyle B=C}$.
• Dersom ${\displaystyle B\subseteq C}$ og ${\displaystyle C\subseteq D}$, så er ${\displaystyle B\subseteq D}$.

Vidare er ${\displaystyle B\cap C\subseteq B\subseteq B\cup C}$ med likskap for ${\displaystyle B=C}$.

Døme

• Dei rasjonelle tala er ei delmengd av dei reelle tala; ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$.
• Ei kvar mengd A er ei delmengd av potensmengda ${\displaystyle 2^{A}}$; ${\displaystyle A\subset 2^{A}}$.
• Den tomme mengda ${\displaystyle \emptyset }$ er ei delmengd av alle mengder; ${\displaystyle \emptyset \subset A}$.
• (Ifølgje visse definisjonar:) Det naturlege talet 1 er ei delmengd av 2; ${\displaystyle 1\subset 2}$. Dette kan og skrivast som ${\displaystyle 1<2}$.