Vermoeden van Beal

Het vermoeden van Beal is een vermoeden in de getaltheorie, dat luidt:

als de gehele getallen ${\displaystyle x,y,z>2}$ en ${\displaystyle a,b,c>0}$ voldoen aan:

${\displaystyle a^{x}+b^{y}=c^{z},}$

dan hebben ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ een gemeenschappelijke priemfactor groter dan 1.

De miljardair Andrew Beal heeft dit vermoeden geformuleerd toen hij zich in 1993 bezighield met de laatste stelling van Fermat

Voorbeelden

Er geldt: ${\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}}$ en de getallen 3 en 6 hebben de factor 3 gemeen. De getallen 7 en 14, waarvoor geldt dat ${\displaystyle 7^{3}+7^{4}=14^{3}}$ hebben 7 als gemene deler.

De relatie ${\displaystyle 2^{n}+2^{n}=2^{n+1}}$ heeft de generalisaties:

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2};\quad n\geq 1}$

${\displaystyle (a^{n}-1)^{2n}+(a^{n}-1)^{2n+1}=[a(a^{n}-1)^{2}]^{n};\quad a\geq 2,n\geq 3}$

en

${\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{n+1};\quad a\geq 1,b\geq 1,n\geq 3}$

Bronnen

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Beal's conjecture op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.