Veelhoeksgetal

Een veelhoeksgetal is een getal dat het aantal bolletjes is van een figuur met in een hoekpunt geneste regelmatige veelhoeken. In de oudheid ontdekte men dat getallen waren weer te geven door een aantal figuurtjes zoals rijstkorrels of zaden te rangschikken in een figuur, dit noemt men figuratieve getallen. De veelhoeksgetallen zijn daar een voorbeeld van. De bekendste soorten veelhoeksgetallen zijn de driehoeksgetallen en kwadraatgetallen.

De gelijkvormige veelhoeken, steeds met een zijde één groter, die een veelhoeksgetal samenstellen, hebben één gezamenlijk hoekpunt. Alle veelhoeken hierin met zijden van minimaal één delen bovendien voor een deel de beide zijden, die aan dit hoekpunt liggen.

Voor veelhoeksgetallen geldt de veelhoeksgetalstelling van Fermat, die zegt dat ieder positief geheel getal de som is van ten hoogste ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$-hoeksgetallen.

Het ${\displaystyle (n+1)}$-de ${\displaystyle k}$-hoeksgetal ${\displaystyle v_{n+1}}$ verkrijgt men door het bijplaatsen van ${\displaystyle k-2}$ zijden met voor elke zijde ${\displaystyle n}$ bolletjes en het verlengen van één zijde van de vorige figuur met één bolletje. Dat leidt tot de recurrente betrekking:

${\displaystyle v_{n+1}=v_{n}+(k-2)n+1}$

Voor een groter aantal hoeken moet men bedenken dat de veelhoeken één gezamenlijk hoekpunt hebben en dat vanuit dat hoekpunt de zijden in dezelfde richting samenvallen.

De volgende figuur is een voorbeeld van zeshoeksgetallen:

1		6		15		28

Als ${\displaystyle z}$ het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het ${\displaystyle n}$e ${\displaystyle z}$-hoeksgetal gegeven door

${\displaystyle V_{z}(n)=({\tfrac {1}{2}}z-1)n^{2}-({\tfrac {1}{2}}z-2)n={\tfrac {1}{2}}n\{(z-2)n-(z-4)\}}$

Elk veelhoeksgetal is ook uit te drukken in de driehoeksgetallen ${\displaystyle V_{3}}$, namelijk

${\displaystyle V_{z}(n)=V_{3}(n)+(z-3)V_{3}(n-1)}$

Een tabel met de eerste veelhoeksgetallen is:

Naam	Formule	n								OEIS
		1	2	3	4	5	6	7	8
driehoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$	1	3	6	10	15	21	28	36	rij A000217 in OEIS
kwadraatgetal	${\displaystyle n^{2}}$	1	4	9	16	25	36	49	64	rij A000290 in OEIS
vijfhoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}$	1	5	12	22	35	51	70	92	rij A000326 in OEIS
zeshoeksgetal	${\displaystyle n(2n-1)}$	1	6	15	28	45	66	91	120	rij A000384 in OEIS
heptagonaal getal	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(5n-3)}$	1	7	18	34	55	81	112	148	rij A000566 in OEIS
achthoeksgetal	${\displaystyle n(3n-2)}$	1	8	21	40	65	96	133	176	rij A000567 in OEIS
negenhoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(7n-5)}$	1	9	24	46	75	111	154	204	rij A001106 in OEIS
10-hoeksgetal	${\displaystyle n(4n-3)}$	1	10	27	52	85	126	175	232	rij A001107 in OEIS
11-hoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(9n-7)}$	1	11	30	58	95	141	196	260	rij A051682 in OEIS
12-hoeksgetal	${\displaystyle n(5n-4)}$	1	12	33	64	105	156	217	288	rij A051624 in OEIS

Gecentreerde veelhoeksgetallen

Er is een verschil tussen de veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt en gecentreerde veelhoeksgetallen. Veelhoeksgetallen met in een hoekpunt geneste veelhoeken en gecentreerde veelhoeksgetallen voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Als ${\displaystyle z}$ het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde ${\displaystyle n}$e ${\displaystyle z}$-hoeksgetal anders dan voor het gewone ${\displaystyle n}$e ${\displaystyle z}$-hoeksgetal.

De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.

• 
  22 is het vierde vijfhoeksgetal.
• 
  31 is het vierde gecentreerde vijfhoeksgetal.

Websites

• rij A086270 in OEIS. veelhoeksgetallen
• (en) MathWorld. Polygonal Number.