Sinc-functie

De sinc-functie, of voluit met de Latijnse naam sinus cardinalis, genoteerd als sinc, is een wiskundige functie die het quotiënt is van de sinus en zijn argument.

Ook is de sinc-functie de fouriergetransformeerde van een rechthoekig signaal, en omgekeerd. De functie is niet alleen in de wiskunde van belang, zoals bij het bepalen van sommige limieten, maar speelt ook, vanwege de genoemde eigenschap, een belangrijke rol in de elektronica, meer bepaald in de analoge en digitale signaalverwerking.

De sinc-functie is in 1952 geïntroduceerd door Phillip M. Woodward in zijn artikel "Information theory and inverse probability in telecommunication", waarin hij opmerkte dat de functie zo vaak voorkomt in fourieranalyse, dat ze een eigen naam verdiende.

Definitie

De genormalizeerde sinc (blauw) en de wiskundige sinc-functie (rood) op dezelfde schaal van x = −6π to 6π.

Hoewel er in de literatuur geen eenduidigheid is over de definitie van de sinc-functie, is de gebruikelijke definitie de functie die voor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gegeven wordt door:

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\sin(x)}{x}},&\quad x\neq 0\\\\\quad 1,&\quad x=0\end{cases}}}$

Deze functie is symmetrisch ten opzichte van de y-as. Vanwege de voorgeschreven waarde in 0 is ze overal continu en differentieerbaar. De functie is nul in alle van nul verschillende veelvouden van ${\displaystyle \pi }$.

Er is ook een genormaliseerde vorm van de sinc-functie:

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\sin(\pi x)}{\pi x}},&\quad x\neq 0\\\\\quad 1,&\quad x=0\end{cases}}}$

De genormaliseerde vorm is nul in de gehele getallen verschillend van nul.

Eigenschappen

De genormeerde vorm van de sinc-functie laat zich met behulp van de gammafunctie uitdrukken als het product:

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}$

De taylorreeks kan direct afgeleid worden uit de taylorreeks voor de sinus:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {x^{4}}{120}}\mp \ldots }$

Limieten

De sinc-functie is continu in het punt 0, want de limiet voor ${\displaystyle x}$ naar nul is gelijk aan 1:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

En dus ook:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1}$

Soortgelijke limieten gelden ook voor de corresponderende cyclometrische functies:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}$

En dus ook:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arctan(x)}{x}}=1}$

Ook voor de hyperbolische functies sinh en tanh geldt:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sinh(x)}{x}}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tanh(x)}{x}}=1}$

Interpolatie met sinc-functies

Indien in een ${\displaystyle N}$-tal equidistente punten ${\displaystyle (x_{k})}$ met onderlinge afstand ${\displaystyle d}$ de functiewaarden ${\displaystyle (f(x_{k}))}$ gegeven zijn, kan een interpolerende functie geschreven worden als:

${\displaystyle g(x)=\sum _{k=1}^{\mathbb {N} }f(x_{k})\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi (x-x_{k})}{d}}\right)}$

Voor alle :${\displaystyle m=1,\ldots ,N}$ geldt:

${\displaystyle g(x_{m})=f(x_{m})}$,

aangezien

${\displaystyle \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi (x_{m}-x_{k})}{d}}\right)=\operatorname {sinc} ((m-k)\pi )={\begin{cases}1,&m=k\\0,&m\neq k\end{cases}}}$

Dit soort interpolatie wordt bijvoorbeeld gebruikt bij DA-conversie van geluidsignalen.

Belang in de signaalverwerking

De fouriergetransformeerde van een geschaalde sinc-functie ${\displaystyle \mathrm {sinc} (\pi t/T)}$ is gelijk aan:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (\pi t/T)\,e^{-j\omega t}\,{\rm {d}}t=T}$

op het interval

${\displaystyle [-\pi /T,\pi /T]}$

en nul daarbuiten.

Omgekeerd is de fouriertransformatie van een rechthoekig signaal in de tijd, een sinc in functie van de frequentie. Dit betekent dat de convolutie van een signaal met een sinc overeenstemt met het product van hun respectievelijke fourier-getransformeerden. Omdat de fouriertransformatie van een sinc echter rechthoekig is, en bijgevolg nul boven een bepaalde grensfrequentie, betekent dit dat convolutie met een sinc tot gevolg heeft dat frequenties hoger dan deze grensfrequentie uit het oorspronkelijk signaal verwijderd worden.

De sinc-functie ligt dan ook aan de basis van het ontwerpen van bandselectieve filters. Dit zijn filters die bepaalde frequentiebanden doorlaten en andere banden onderdrukken. Men onderscheidt in deze context laagdoorlaatfilters, hoogdoorlaatfilters, banddoorlaatfiters en bandstopfilters.