Pythagorees drietal

Een pythagorees drietal ${\displaystyle (a,b,c)}$ bestaat uit drie positieve gehele getallen ${\displaystyle a,b,c}$ waarvoor geldt ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met ${\displaystyle c}$ als lengte van de schuine zijde. De oppervlakte van een dergelijke rechthoekige driehoek is dan per definitie een congruent getal. Een pythagorees drietal ${\displaystyle (a,b,c)}$ wordt primitief genoemd als de grootste gemene deler van ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ gelijk aan 1 is.

Scatterdiagram van de 'benen' ${\displaystyle (a,b)}$ van de pythagorese drietallen met ${\displaystyle c}$ kleiner dan 6000. Om de parabolische patronen duidelijk te maken zijn ook negatieve waarden opgenomen.

Op kleitabletten uit de tijd van Hammurabi komen al pythagorese drietallen voor. Op het tablet Plimpton 322 bijvoorbeeld staan 15 drietallen, waaronder (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). Men kende ook in India zulke getallen. In de Baudhayana-Sulbasutra uit de 6e eeuw v.Chr. staan vijf drietallen. Het eenvoudigste pythagorees drietal (3,4,5) is bekend om zijn toepassing voor het bepalen van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.

Behalve het drietal (3,4,5) vormen ook veelvouden hiervan, zoals (6,8,10) en (9,12,15) pythagorese drietallen. Met ${\displaystyle (a,b,c)}$ is ook ${\displaystyle (ka,kb,kc)}$ voor ieder positieve gehele getal ${\displaystyle k}$ een pythagorees drietal. Er zijn dus oneindig veel pythagorese drietallen, maar er zijn ook oneindig veel primitieve drietallen. In de onderstaande tabel staan de eerste drietallen. De drietallen met een grijze achtergrond zijn niet primitief.

Een heron-driehoek is een driehoek waarvan de lengten van de drie zijden rationaal zijn. Alle driehoeken met als zijden een pythagorees drietal zijn heron-driehoeken.

a	3	5	6	7	8	9	9	10	11	12	12	13
b	4	12	8	24	15	12	40	24	60	16	35	84
c	5	13	10	25	17	15	41	26	61	20	37	85

Opsomming

De Zweedse wiskundige Berggren toonde in 1934 aan dat alle primitieve pythagorese drietallen van het eerste drietal (3, 4, 5) kunnen worden afgeleid. Dat gaat met behulp van drie lineaire transformaties, die door de volgende matrices worden voorgesteld:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}T_{1}={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&T_{2}={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&T_{3}={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}}$

Van elk primitief pythagorees drietal ${\displaystyle (a,b,c)}$, opgevat als kolomvector, worden door deze transformaties drie nieuwe primitieve pythagorese drietallen afgeleid. Er ontstaan geen dubbele drietallen en beginnend bij (3,4,5) worden alle primitieve pythagorese drietallen gevormd. De drietallen die op (3,4,5) volgen zijn:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}T1\ {\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\12\\13\end{bmatrix}},&T2\ {\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}21\\20\\29\end{bmatrix}}\ \end{array}}\ }$ en ${\displaystyle \ T3\ {\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}15\\8\\17\end{bmatrix}}}$

Primitieve drietallen

Voor alle positieve gehele getallen ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ met ${\displaystyle m>n}$ geldt dat het drietal ${\displaystyle (a,b,c)}$, waarin

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

een pythagorees drietal is, want:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}}$

Een dergelijk drietal is dan en slechts dan primitief, als ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ relatief priem zijn en een ervan een even getal is. Zijn zowel ${\displaystyle m}$ als ${\displaystyle n}$ oneven, dan zijn ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ even en is het drietal niet primitief. Niet alle drietallen kunnen op deze wijze gegenereerd worden, maar wel alle primitieve drietallen. Dit laat tevens zien dat er oneindig veel primitieve pythagorese drietallen bestaan.