Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een deelverzameling ${\displaystyle W}$ van een vectorruimte ${\displaystyle V}$, de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van ${\displaystyle V}$ die ${\displaystyle W}$ omvatten. Het lineair omhulsel is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit ${\displaystyle W}$.

Men noteert het lineair omhulsel van ${\displaystyle W}$ als ${\displaystyle \mathrm {span} (W)}$ afgeleid van de Engelse benaming linear span of ook als ${\displaystyle \mathrm {Vect} (W)}$. De vectoren in ${\displaystyle W}$ worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie

Het lineair omhulsel ${\displaystyle \mathrm {span} (W)}$ van een deelverzameling ${\displaystyle W}$ van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ is de kleinste deelruimte van ${\displaystyle V}$ die ${\displaystyle W}$ omvat, dus voor alle lineaire deelruimten ${\displaystyle D\subseteq V}$ geldt:

${\displaystyle W\subseteq D\Leftrightarrow {\rm {span}}(W)\subseteq D}$

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren

Zij ${\displaystyle V}$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) ${\displaystyle K}$, dan is het lineair omhulsel van de vectoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle V}$, de deelruimte

${\displaystyle \mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}}$

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ als ${\displaystyle \mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n}).}$ Andere notaties zijn ${\displaystyle \langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle }$ en ${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}].}$

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren

Zij ${\displaystyle V}$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) ${\displaystyle K}$, dan is het lineair omhulsel van ${\displaystyle W\subset V}$, de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

${\displaystyle \mathrm {span} (W)=\{a_{1}w_{1}+\ldots +a_{n}w_{n}:n\in \mathbb {N} ,w_{1},\ldots ,w_{n}\in W,a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• ${\displaystyle \mathrm {span} (\varnothing )=\{0\}}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen

Als een stelsel vectoren ${\displaystyle S}$ onafhankelijk is, dan is ${\displaystyle S}$ een basis van de voortgebrachte deelruimte ${\displaystyle U.}$

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte ${\displaystyle U}$ wordt voortgebracht door het stelsel ${\displaystyle S,}$ dan bevat ${\displaystyle S}$ een basis van ${\displaystyle U.}$

De ruimte ${\displaystyle U}$ blijft het lineair omhulsel van ${\displaystyle S}$

• als men aan ${\displaystyle S}$ een vector uit ${\displaystyle U}$ toevoegt.
• als men een vector uit ${\displaystyle S}$, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit ${\displaystyle S}$, verplaatst naar ${\displaystyle U}$ \ ${\displaystyle S}$.
• als men in ${\displaystyle S}$ een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
• als men bij een vector uit ${\displaystyle S}$, een andere vector uit ${\displaystyle S}$ optelt.