Karakteristieke functie (kansrekening)

De karakteristieke functie van een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële ${\displaystyle t}$ gegeven wordt door:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\mathrm {E} }\left(e^{itX}\right).}$

Er is een eenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van ${\displaystyle X}$, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\ \mathrm {d} F_{X}(x),}$

waarin ${\displaystyle F_{X}}$ de verdelingsfunctie van ${\displaystyle X}$ is.

Als ${\displaystyle X}$ de kansdichtheid ${\displaystyle f_{X}}$ heeft, gaat deze integraal over in:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\ \mathrm {d} x\,}$

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gedefinieerd is.

Voorbeelden

Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle \sigma }$ is de karakteristieke functie:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{2}}\mathrm {d} x=e^{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma t^{2}}.}$

Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter ${\displaystyle \lambda }$ is de karakteristieke functie:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{itx}e^{-\lambda x}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$

Eigenschappen

De karakteristieke functie is continu in de parameter ${\displaystyle t}$. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in ${\displaystyle t=0}$.

Voor elk positief geheel getal ${\displaystyle n}$, elk stel van ${\displaystyle n}$ reële getallen ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ en ${\displaystyle n}$ complexe getallen ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ geldt

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}z_{i}{\overline {z}}_{j}\varphi _{X}(t_{j}-t_{i})\geq 0}$

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie ${\displaystyle f(t)}$ de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ geldt:

• ${\displaystyle |\varphi _{X}(t)|\leq \varphi _{X}(0)=1}$ (begrensd)
• ${\displaystyle \varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)}$ (lineaire transformatie)
• ${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\ \varphi _{Y}(t)}$ (convolutie)

Als ${\displaystyle X}$ een dichtheid ${\displaystyle f_{X}}$ heeft:

• ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t}$ (omkeerformule)

De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.