Jacobi-polynoom

Een jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedachte polynoom die een uitbreiding betekent van de legendre-polynoom.

Definitie

De jacobi-polynomen zijn gedefinieerd door:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}}$

of in termen van de hypergeometrische functie ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta$ ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right)}

Eigenschappen

De waarde voor ${\displaystyle z=1}$ is

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}$

Zij hebben de symmetrierelatie

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}$

waaruit de waarde voor ${\displaystyle z=-1}$ wordt verkregen:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}}$

Zij vormen een orthogonaal stelsel op het interval ${\displaystyle [-1,1]}$ met betrekking tot de gewichtsfunctie:

${\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$

Dit betekent, dat

${\displaystyle \int _{-1}^{1}w(x)P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}$

Waarbij ${\displaystyle \delta }$ de kroneckerdelta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix.

We zien dus dat een legendre-polynoom ${\displaystyle P_{n}(x)}$ een bijzonder geval is van de jacobi-polynoom:

${\displaystyle P_{n}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}$