Heisenberg-groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de heisenberg-groep, naar Werner Heisenberg genoemd, de groep van 3×3-bovendriehoeksmatrices van de vorm

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

of de generalisaties daarvan onder de matrixvermenigvuldiging in meer dimensies of in symplectische vectorruimten. De matrixelementen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c}$ kunnen uit een willekeurige commutatieve ring komen. Dat is vaak de ring van gehele of reële getallen.

De reële heisenberg-groep ontstaat in de beschrijving van eendimensionale kwantummechanische systemen.

Een heisenberg-groep voor meer dimensies is een groep van matrices van de vorm:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&I_{n}&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&c\\0&1&0&\ldots &0&b_{1}\\0&0&1&\ldots &0&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\\0&0&0&\ldots &1&b_{n}\\0&0&0&\ldots &0&1\\\end{pmatrix}}}$

Daarin is ${\displaystyle I_{n}}$ de n×n-eenheidsmatrix, ${\displaystyle a}$ een 1×n-rijvector en ${\displaystyle b}$ een n×1-kolomvector.