Distributie (wiskunde)

In de wiskunde is een distributie een generalisatie van het begrip functie. Distributies maken het mogelijk een afgeleide te bepalen van elke continue functie. Verder worden distributies gebruikt bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen, speciaal zoals die in de natuurkunde en de technische wetenschappen voorkomen in de beschrijving van niet-continue problemen. Een bekend voorbeeld van een distributie is de dirac deltapuls.

Al in 1935 sprak Sergej Sobolev van gegeneraliseerde functies en onafhankelijk van hem formuleerde Laurent Schwartz in de jaren 40 een theorie over distributies.

Voorgeschiedenis

Bij de studie van golffuncties in de kwantummechanica hanteerde de wiskundige Paul Dirac functionalen van de vorm

${\displaystyle f\mapsto \int f(x)g(x)dx}$

waar de integraal over een of ander geschikt ruimtelijk domein gaat, en ${\displaystyle g}$ een gegeven complexwaardige functie op dat domein is. Hij wilde graag de functionaal die met een gegeven continue functie ${\displaystyle f}$ haar waarde in ${\displaystyle x=0}$ associeerde,

${\displaystyle f\mapsto f(0),}$

in een gelijkaardige integraalvorm noteren en gebruikte daarvoor de schrijfwijze:

${\displaystyle f(0)=\int f(x)\delta (x)dx}$

waarbij de "functie" ${\displaystyle \delta }$ overal de waarde 0 aannam, behalve in het punt ${\displaystyle x=0}$ zelf, waar ze "precies de juiste soort oneindig" was om het gewenste resultaat op te leveren.

Ook Dirac zelf besefte dat ${\displaystyle \delta }$ geen echte functie kon zijn, en dat haar als dusdanig opvatten tot logische tegenstrijdigheden leidt. Maar het gemak van de notatie was voor natuurkundigen aanleiding om consequent van de "deltafunctie van Dirac" te blijven spreken.

De systematische formalisering van dit veralgemeend functiebegrip was het werk van Laurent Schwartz, in boekvorm gepubliceerd vanaf 1950.^[1][2] Een meer toegankelijke inleiding, voor getemperde distributies, is geschreven door James Lighthill^[3].

Definitie

Een distributie is een continue lineaire functionaal op een ruimte van testfuncties. De testfuncties zelf vormen een topologische vectorruimte (zie functionaalanalyse), en als dusdanig vormen de distributies de duale topologische vectorruimte.

Sinds het werk van Schwartz zijn twee verschillende soorten ruimten van testfuncties in omloop:

• De onbeperkt continu differentieerbare complexwaardige functies op de reële getallen, of op de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ die nul zijn buiten een begrensd gebied;
• de onbeperkt continu differentieerbare complexwaardige functies op de reële getallen, of op de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ die sneller naar nul dalen dan elke rationale functie.

(Noot: deze definities zijn onvolledig, men zou ook de topologische structuur moeten aangeven)

Om het onderscheid te maken, worden de continue lineaire functionalen op de eerste testruimte soms "gewone distributies", de andere "getemperde distributies" genoemd.

Belangrijke eigenschappen

Alle lokaal integreerbare complexwaardige functies kunnen als een gewone distributie worden opgevat. De meeste ook als een getemperde distributie, tenzij ze erg snel divergeren voor grote waarden van ${\displaystyle x}$.

Het begrip afgeleide van een functie kan worden veralgemeend tot willekeurige distributies. De regels voor partiële integratie blijven gelden.

Bijvoorbeeld ${\displaystyle \ln |x|}$ is een integreerbare functie, dus ook een distributie. De afgeleide functie ${\displaystyle 1/x}$ is weliswaar niet integreerbaar, maar toch een distributie, want afgeleiden van distributies zijn ook distributies. De distributie ${\displaystyle 1/x}$ wordt, ter onderscheiding van de functie, wel genoteerd als ${\displaystyle {\mathcal {P}}/x}$. Het symbool ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is ontleend aan de cauchy-hoofdwaarde van een integraal met een singuliere integrand.

De deltafunctie van Dirac is een gewone distributie en een getemperde distributie.

Een distributie, vermenigvuldigd met een onbeperkt differentieerbare functie die voor ${\displaystyle |x|\to \infty }$ niet sterker groeit dan een polynoom, is ook een distributie, maar het product van twee distributies is niet gedefinieerd, bijvoorbeeld ${\displaystyle \delta ^{2}(x)}$ is onbepaald.

Toepassing

Distributies zijn een krachtig hulpmiddel bij het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen, zowel gewone differentiaalvergelijkingen als partiële differentiaalvergelijkingen. Het begrip fouriertransformatie van een functie gaat vrijwel naadloos over op distributies, zie het boekje van Lighthill.

Voorbeelden

• Diracdelta

Referenties

1. Schwartz, Laurent, Théorie des distributions I-II, Hermann, Parijs 1950-1951
2. Grubb, Gerd, paragraaf 1.1 in Distributions and Operators, Springer Graduate Texts in Mathematics 252, 2009
3. M.J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions, Cambridge University Press, vele edities sinds 1958