Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de analyse zijn extreme waarden van een functie de maxima en minima van die functie, dus functiewaarden waar, althans plaatselijk, geen andere functiewaarde boven- dan wel onderuitkomt. We onderscheiden hierin lokale (of relatieve) extrema en globale (of absolute) extrema.
De extremumstelling stelt dat een continue functie op een gesloten interval altijd een minimum en een maximum bereikt.
De functie bereikt in het punt een
Daarin is een omgeving van een verzameling van de vorm:
voor enige .
We spreken respectievelijk over een globaal maximum of minimum indien het gestelde geldt voor alle uit het domein van . Als bovenstaande ongelijkheden strikt zijn voor alle ongelijk aan , spreekt men over een uniek maximum cq. minimum.
We kunnen bovenstaande redenering uitbreiden naar functies van meerdere variabelen.
Hiervoor maken we gebruik van begrippen als partiële afgeleide en gradiënt.
Voor de eenvoud beperken we ons in de volgende punten tot functies van twee variabelen.
, | , | , |
We beschouwen de functie (zie figuur rechts)
We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar x om mogelijke extrema te zoeken
Om na te gaan of er in deze punten extrema bereikt worden bepalen we het teken van de tweede afgeleide voor beide punten
We beschouwen de functie (zie figuur rechts)
We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar om mogelijke extrema te zoeken
Om na te gaan of er in dit punt een extremum bereikt wordt bepalen we het teken van de tweede afgeleide in dit punt.
Vermits voor elk extremum moet gelden dat de afgeleide 0 is kunnen we besluiten dat deze functie geen extrema heeft.
We beschouwen de functie (zie figuur rechts)
We berekenen de stationaire punten, dit zijn de punten waarvoor de gradiënt 0 is:
Oplossingen van dit stelsel zijn de punten .
We berekenen δ met voorgenoemde formule voor elk van deze vier punten en vinden
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.