Eigenfunctie

Een eigenfunctie is een generalisatie van het begrip eigenvector tot functies in plaats van vectoren. Als ${\displaystyle L}$ een lineaire operator op een ruimte van functies is, die dus aan een functie ${\displaystyle f}$ een andere functie ${\displaystyle Lf}$ toevoegt, dan heet de functie ${\displaystyle f}$ een eigenfunctie als er een (complex) getal ${\displaystyle \lambda }$ is zodat:

${\displaystyle Lf=\lambda f}$

Dat wil zeggen dat voor alle ${\displaystyle x}$ geldt:

${\displaystyle (Lf)(x)=\lambda f(x)}$

Het complexe getal ${\displaystyle \lambda }$ heet een eigenwaarde van de operator ${\displaystyle L}$.

Voorbeeld

Voor de eigenfuncties ${\displaystyle f}$ van de differentiaaloperator ${\displaystyle \mathrm {d} /\mathrm {d} x}$ voor functies op de reële getallen geldt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\lambda f(x)}$

met als oplossingen:

${\displaystyle f(x)=c\,e^{\lambda x}}$

Eigenfuncties spelen een belangrijke rol in onder meer de trillingsleer, elektromagnetisme en de kwantummechanica.