Thèta-functie

In de wiskunde zijn thèta-functies een speciale klasse van functies van meerdere complexe variabelen.

Thèta-functies spelen een rol in de theorie van de elliptische functies en kwadratische vormen. De eerste wiskundige die thèta-functies systematisch onderzocht was Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definitie

Klassieke thètafunctie

De klassieke jacobische thètafunctie wordt gedefinieerd door

${\displaystyle \Theta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}}$

Moderne definitie volgens Whittaker en Watson:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}$

Zie ook

• Ramanujan-thètafunctie

Literatuur

• (de) Adolf Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen (Leerboek van de Thetafuncties) Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. pp. 469-470