Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is de Spons van Menger een fractale kromme. Het is een universele kromme in de zin dat de spons van Menger een topologische dimensie één heeft en dat elke willekeurige kromme of graaf homeomorf is aan een willekeurige deelverzameling van de spons van Menger. De constructie wordt soms ook wel de spons van Menger-Sierpiński of de Spons van Sierpinski genoemd. De Spons van Menger is de driedimensionale uitbreiding van de Cantorverzameling en het tapijt van Sierpiński. De Spons van Menger werd in 1926 als eerste beschreven door de Oostenrijkse wiskundige Karl Menger in het kader van zijn fundamenteel onderzoek naar het concept van topologische dimensie.
De constructie van een spons van Menger verloopt in de volgende stappen:
Een tweede herhaling geeft een niveau 2 spons (zie derde plaatje), de derde herhaling een niveau 3 spons (zie vierde plaatje) en zo verder. De spons van Menger moet men zien als de limiet van dit proces na een oneindig aantal herhalingen (iteraties).
Het aantal kubussen neemt toe met 20n, waarin n staat voor het aantal iteraties die op de eerste kubus worden toegepast.
Iteraties | Kubussen | Som |
0 | 1 | 1 |
1 | 20 | 21 |
2 | 400 | 421 |
3 | 8.000 | 8.421 |
4 | 160.000 | 168.421 |
5 | 3.200.000 | 3.368.421 |
6 | 64.000.000 | 67.368.421 |
Op het eerste niveau worden geen iteraties uitgevoerd (200 = 1).
Elke zijde van de spons van Menger is een tapijt van Sierpiński; verder is elke doorsnede van de spons van Menger met een diagonaal of een medium van de beginkubus M0 een Cantorverzameling.
Wanneer bovenstaande stappen tot in het oneindige zouden worden doorgevoerd dan zou de spons een oneindig groot oppervlak krijgen en een volume nul insluiten. De spons heeft een Hausdorff-dimensie van ongeveer 2,726833 ( (ln 20)/(ln 3) ).
Formeel kan een spons van Menger worden gedefinieerd als:
waar M0 gelijk is aan de eenheidskubus en
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.