Jordan-kromme

In de meetkundige topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een jordan-kromme, of enkelvoudige kromme, een kromme waarvoor, informeel gezegd, geldt dat men slechts op één manier zonder onderbreking van begin- naar eindpunt of rond kan lopen. Een jordan-kromme bestaat uit één stuk en kruist zichzelf niet. Jordan-krommen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Camille Jordan.

Gesloten jordan-kromme

Open jordan-kromme

Definitie

Een jordan-kromme, of enkelvoudige kromme is een topologisch pad dat als homeomorfe inbedding van de eenheidscirkel ${\displaystyle S_{1}}$, of van het interval ${\displaystyle I_{1}=[0,1]}$ in een topologische ruimte gedefinieerd wordt.

De homeomorfe inbedding van ${\displaystyle I_{1}}$ noemt men een open jordan-kromme. De inbedding van ${\displaystyle S_{1}}$ wordt een gesloten jordan-kromme genoemd (zie de plaatjes hiernaast). Aanschouwelijk betekent dit dat het om krommen gaat die continu en doorsnedevrij zijn en die een begin- en een eindpunt hebben.

De stelling van Jordan zegt dat elke gesloten jordan-kromme ${\displaystyle J}$ het vlak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ verdeelt in twee componenten: een "inwendig" en "uitwendig" gebied, met ${\displaystyle J}$ de grens tussen beide.

Men onderscheidt een jordan-kromme die in tegenwijzerzin doorlopen wordt en omgekeerd een die in wijzerzin wordt doorlopen. Als men de hoek vanuit een vast inwendig punt naar een punt op de kromme continu laat variëren met het doorlopen van de kromme dan neemt die in het eerste geval per omwenteling met ${\displaystyle 2\pi }$ toe; daarbij geldt, informeel gezegd, dat het inwendige zich links bevindt.

In het eerste geval geldt, mits de integralen bestaan, voor de oppervlakte ${\displaystyle A}$ van het inwendige:

${\displaystyle A={}\oint _{J}x{\rm {d}}y=-{}\oint _{J}y{\rm {d}}x}$

Het begrip 'jordan-kromme' wordt ook bij de definitie van planaire grafen gebruikt.

De combinatie van een open of gesloten jordan-kromme die een rechte een aantal malen snijdt, noemt men een meander.

Externe links

• (en) Jordan-kromme in de Encyclopaedia of Mathematics
• (en) Jordan-kromme op MathWorld