Genererende verzameling
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling
, zodat elk element van
kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van
en hun inversen. Het gaat hier om het product bepaald door de bewerking die er tussen de elementen in
is gedefinieerd. Als
door
wordt gegenereerd, schrijft men
. De elementen van
worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd.
Andersom, als een deelverzameling is van een groep
, dan is
, de ondergroep gegenereerd, voortgebracht door
, de kleinste ondergroep van
die elk element van
bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van
bevatten. Dat komt ermee overeen dat
de ondergroep is van alle elementen van
die als het eindige product van de elementen van
en hun inversen kunnen worden geschreven.
Als er maar een enkel element deel uitmaakt van
, wordt
meestal geschreven als
. In dat geval wordt
door
gegenereerd, heet
de voortbrenger van de groep en is
de cyclische ondergroep van de machten van
, een cyclische groep.
De orde van een element
kan op twee manieren worden gedefinieerd: als het aantal elementen van
en als het kleinste positieve gehele getal
zodat
, waarin
het neutrale element van
is.
kan met de tweede definitie als een verzameling worden geschreven. Gegeven dat
is
Altijd is en
is de groep met alleen het neutrale element
.