Fundamentaalgroep
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, is de fundamentaalgroep of Poincaré-groep een groep die is geassocieerd met een bepaalde gepunte topologische ruimte. De fundamenteelgroep voorziet in een manier om te bepalen wanneer twee paden, elk met een vast begin- en eindpunt continu in elkaar kunnen worden vervormd. Intuïtief gesproken bevat de fundamentaalgroep informatie over de basisvorm, of de gaten in de topologische ruimte. De fundamentaalgroep is de eerste en eenvoudigste van de homotopiegroepen.
Fundamentaalgroepen kunnen worden bestudeerd door gebruik te maken van de theorie van de dekkende ruimten, dit omdat een fundamentaalgroep overeenkomt met de groep van dekkingstransformaties van de geassocieerde universele dekkingsruimte. De Abelianisering van de fundamentaalgroep kan worden geïdentificeerd met de eerste homologiegroep van de ruimte. Wanneer de topologische ruimte homeomorf is met een simpliciaal complex, kan haar fundamentaalgroep expliciet worden beschreven in termen van generatoren en relaties.
Historisch gezien is het begrip van de fundamentaalgroep voor het eerst ontstaan in de theorie van de Riemann-oppervlakken, in het werk van Bernhard Riemann, Felix Klein en Henri Poincaré, waar de fundamentaalgroep de monodromische eigenschappen van complexe functies beschrijft en voorziet in een complete topologische classificatie van gesloten oppervlakken.