Een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze kunnen worden uitgevoerd. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam/veld.
Snelle feiten Algebraïsche structuur ...
Sluiten
Een lichaam/veld is een verzameling met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is. Het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling, de optelling en de vermenigvuldiging zijn beide associatief en commutatief en de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
Meer formeel is een lichaam/veld een drietal
bestaande uit een niet-lege verzameling
waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen
en
uit
noteert men meestal met
en de vermenigvuldiging van
en
met
of korter met
. De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met
of
en het product dienovereenkomstig met
of
.
Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld
ook worden gedefinieerd door:
is een commutatieve groep
is een commutatieve groep
- de bewerking
is distributief over de bewerking
.
De optelling en de vermenigvuldiging moeten aan de volgende voorwaarden voldoen.
- Voor alle elementen
en
in
, behoren ook
en
tot
.
is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging.
- Voor alle elementen
en
in
, is
en
.
De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
- Er bestaat in
een element
zodat voor alle
uit
geldt:
Het element
heet het neutrale element voor de optelling of ook de additieve identiteit in
.
- Voor elk element
in
bestaat er een element
in
, zodat
en
Ieder element in
heeft een invers element voor de optelling.
- Voor alle elementen
en
in
geldt
.
De optelling is commutatief.
- Voor alle elementen
en
in
is
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
- Er bestaat in
een element
zodat voor elk element
in
geldt:
Het element
is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van
genoemd.
- Voor elk element
in
verschillend van
bestaat er een element
in
zodat
Elk element in
ongelijk aan
heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
- Voor alle elementen
en
in
geldt
.
De vermenigvuldiging is commutatief.
- De additieve en de multiplicatieve identiteit zijn verschillend,
is niet gelijk aan
.
Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die één element bevat ook een lichaam/veld zijn en dat is niet de bedoeling.
De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat
een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel onder voorwaarde 9 dat de vermenigvuldiging commutatief is, dan is er sprake van een delingsring/lichaam.
Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en 7, 8 en 9 overeenkomstige voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.
Het verschil nemen, aftrekken wordt gedefinieerd door
![{\displaystyle a-b=a+(-b)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e1ad2ad4d5dbbd763ad4c40a0d7bf250cd208)
De deling door een element ongelijk aan nul wordt gedefinieerd door
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}=a*b^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef3c9e35065913d7f49f16e1e38784fc25161e2)
We kunnen bewijzen dat voor elk lichaam/veld geldt dat
voor willekeurige
. Daarom bestaat vanwege voorwaarde 10 geen inverse van
(want dan zou
moeten gelden) en is delen door nul dus niet mogelijk.
Er bestaat een hierarchie tussen de volgende ring-achtige algebraïsche structuren:
- Lichamen/velden
euclidische domeinen
hoofdideaaldomeinen
unieke factorisatiedomeinen
integriteitsgebieden
commutatieve ringen
ringen
- Ieder element behalve 0 heeft in een lichaam een inverse voor de vermenigvuldiging, dus kunnen er geen nuldelers zijn.
- Als
en
is
.
- De reële getallen
, de rationale getallen
en de complexe getallen
vormen met de gewone optelling en vermenigvuldiging een lichaam/veld.
- De gehele getallen
vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen voor de vermenigvuldiging geen invers element hebben.
- Als
een lichaam/veld is, vormen de rationale functies in
variabelen over
op hun beurt een lichaam/veld.
- De restklassen modulo
vormen als
een priemgetal is een eindig lichaam/veld.