Secans en cosecans

De secans, Latijn voor 'de snijdende', en cosecans zijn twee verwante goniometrische functies. Ze worden aangeduid met sec en csc, of soms met cosec.

 b

Secans

Van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$ in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|OC\|}}=\|OT\|}$

De secans van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$ in een rechthoekige driehoek is dus de omgekeerde van de cosinus van deze hoek:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {1}{\cos(b)}}}$

De volgende vergelijking kan uit de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras worden afgeleid:

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)}$

Zoals voor alle goniometrische functies is

${\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )}$

Machtreeks

De secans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle |x|<\pi /2}$:

${\displaystyle \sec(x)=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$

Daarin is ${\displaystyle E_{n}}$ een eulergetal.

Cosecans

Van een scherpe hoek ${\displaystyle \alpha }$ in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)=\sec(90^{\circ }-b)}$

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|CP\|}}=\|OK\|}$

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {1}{\sin(b)}}}$

De volgende vergelijking kan worden afgeleid:

${\displaystyle \cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)}$

Machtreeks

De cosecans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle 0<|x|<\pi /2}$:

${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$

Daarin is ${\displaystyle B_{n}}$ het ${\displaystyle n}$-de bernoulligetal.

Grafieken

secans

en cosecans

Wiskundige functies

Basisfuncties:	optellen · aftrekken · vermenigvuldigen · delen · machtsverheffen · worteltrekken
Logaritme:	logaritme · natuurlijke logaritme · exponentiële functie
Goniometrische functies:	sinus en cosinus · tangens en cotangens · secans en cosecans
Cyclometrische functies:	arcsinus · arccosinus · arctangens · arccotangens · arcsecans · arccosecans
Overig:	hyperbolische functies