Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de ringtheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een commutatieve ring een ring, waarin de bewerking die overeenkomt met de vermenigvuldiging, commutatief is. Dit houdt in dat voor willekeurige elementen en van de ring geldt: . De studie van commutatieve ringen wordt de commutatieve algebra genoemd.
Merk op dat een commutatieve ring voorkomt in de onderstaande keten van insluitingen:
lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch) ⊂ euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen.
Een ring is een verzameling die is uitgerust met twee binaire operaties, dat wil zeggen bewerkingen, die een willekeurige combinatie van twee elementen van de ring tot een derde element combineren. De twee bewerkingen worden optellen en vermenigvuldigen genoemd en worden vaak aangeduid met "+" en "⋅", bijvoorbeeld en . Daarbij wordt de "⋅" ook vaak eenvoudigheidshalve weggelaten. Om een ring te vormen moeten deze twee operaties voldoen aan een aantal eigenschappen: de ring moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn, zodanig dat de vermenigvuldiging en de optelling distributief zijn, dat wil zeggen dat voor alle en :
De neutrale elementen voor optellen en vermenigvuldigen worden respectievelijk aangeduid door 0 en 1. Als bovendien ook de vermenigvuldiging commutatief is, dat wil zeggen dat voor en :
dan wordt de ring commutatief genoemd.