Funzjonijiet (matematika)

Fil-matematika, funzjoni ${\displaystyle \ f}$ minn ${\displaystyle \ X}$ għal ${\displaystyle \ Y}$ hi magħmula minn:

1) sett ${\displaystyle \ X}$ imsejjaħ id-dominju ta' ${\displaystyle \ f}$

2) sett ${\displaystyle \ Y}$ imsejjaħ il-kodominju ta’ ${\displaystyle \ f}$

3) liġi li ma' kull element ${\displaystyle \ x}$ f' ${\displaystyle \ X}$ tassoċja element wieħed u wieħed biss ${\displaystyle \ f(x)}$ f' ${\displaystyle \ Y}$.

${\displaystyle \ x}$ jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li ${\displaystyle \ f(x)}$ huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti.

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":
"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

Eżempji

L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati ${\displaystyle \ x,y,z}$ ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura ${\displaystyle \ T}$ u l-pressjoni ${\displaystyle P}$ ta’ l-arja. F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna ${\displaystyle \ (x,y,z)}$ , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja ${\displaystyle \ (T,P)}$ .

Definizzjoni

Mogħtija s-settijiet ${\displaystyle \ X}$ u ${\displaystyle \ Y}$, sottosett ${\displaystyle \ f}$ tal-prodott Carteżjan ${\displaystyle \ X\times Y}$ insejħulu funzjoni minn ${\displaystyle \ X}$ għal ${\displaystyle \ Y}$, jekk għal kull ${\displaystyle \ x\in X\;}$, jeżisti element wieħed u wieħed biss ${\displaystyle \ y\in Y\;}$ tali ${\displaystyle \ (x,y)\in f}$. Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ ${\displaystyle \ f(x)}$: fi kliem ieħor, minflok niktbu ${\displaystyle \ (x,y)\in f}$ nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali ${\displaystyle \ y=f(x)\;}$.

Il-fatt li ${\displaystyle \ f}$ hija funzjoni minn ${\displaystyle \ X}$ għal ${\displaystyle \ Y}$ li tassoċja ma’ ${\displaystyle \ x}$ l-element ${\displaystyle \ f(x)}$ nistgħu nuruh billi niktbu:

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&X&\rightarrow &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}}$

Is-sett ${\displaystyle \ X}$ (li minnu l-funzjoni ${\displaystyle \ f}$ "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni ${\displaystyle \ f}$, waqt li s-sett ${\displaystyle \ Y}$ (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni ${\displaystyle \ f}$) hu l-kodomiju tal-funzjoni ${\displaystyle \ f}$.

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett

${\displaystyle \{y\in Y|\exists x\in X|y=f(x)\},}$

mogħti mill-elementi ${\displaystyle \ y}$ tal-kodominju li għalihom jeżisti ${\displaystyle \ x}$ fid-dominju li tittrasfoma f’ ${\displaystyle \ y}$ ngħidulu l-immaġini ta’ ${\displaystyle \ f}$ u niddenotawh b’ Im${\displaystyle \,(f)}$ jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' ${\displaystyle \ f(X)}$.

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

Definizzjoni alternattiva

Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża:

Funzjoni hija terna ordnata ${\displaystyle \ (A,B,f)}$, fejn ${\displaystyle \ A}$ hu sett, ${\displaystyle \ B}$ hu sett ieħor, u ${\displaystyle \ f\subseteq A\times B\ }$ hu tali ${\displaystyle \ \forall a\in A\;\ \exists {\text{!}}b\in B\ |\ (a,b)\in f}$

Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet

Jekk ikollna żewġ funzjonijiet ${\displaystyle \ f}$ : ${\displaystyle \ X}$ → ${\displaystyle \ Y}$ u ${\displaystyle \ g}$ : ${\displaystyle \ Y}$ → ${\displaystyle \ Z}$ nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ ${\displaystyle \ f}$ fuq ${\displaystyle \ x}$ u mbagħad l-applikazzjoni ta’ ${\displaystyle \ g}$ fuq ir-riżultat ${\displaystyle \ f(x)}$.

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ ${\displaystyle \ g\circ f}$. Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

${\displaystyle \,(g\circ f)(x)=g[f(x)]\,}$

Notazzjonijiet għall-funzjonijiet

Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni ${\displaystyle \ F}$ li jikkorrispondi ma’ element ${\displaystyle \ x}$, iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’${\displaystyle \ F(x)}$:

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:

${\displaystyle \,Fx:=F(x)\,}$ .

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:

${\displaystyle \,xF:=F(x)\,}$ .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet ${\displaystyle \ F}$ u ${\displaystyle \ G}$ jistgħu jinkitbu f’4 modi:

${\displaystyle \,(F\circ G)x=G(Fx)\,}$ ,

${\displaystyle \,(F\circ G)x=F(Gx)\,}$ ,

${\displaystyle \,x(F\circ G)=(xF)G\,}$ ,

${\displaystyle \,x(F\circ G)=(xG)F\,}$ .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:

${\displaystyle \,F[x]=F(x)\,}$ .

B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed

Meta d-dominju ta' funzjoni ${\displaystyle \ f}$ ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja ${\displaystyle \ (x,y)}$ nuruha bin-notazzjoni

${\displaystyle \ f(x,y)}$

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu ${\displaystyle \ f((x,y))}$. F'dal-kaz il-funzjoni ${\displaystyle \ f}$ tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: ${\displaystyle \ f(x,y)=x\cdot y}$. Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju ${\displaystyle \ \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$, is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

Funzjonijiet ta’ iżjed valuri

Jekk il-kodominju ta’ funzjoni ${\displaystyle \ f}$ hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali.

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:

${\displaystyle (x,y)\to (y,x)}$.

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {P} (\mathbb {R} )}$

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

Operazzjonijiet binarji

Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan ${\displaystyle \ \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ għal ${\displaystyle \ \mathbb {Z} }$, u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu ${\displaystyle \ x+y}$ (u mhux ${\displaystyle \ +(x,y)}$) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja ${\displaystyle \ (x,y)}$ bl-operazzjoni ${\displaystyle \ +}$.

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett ${\displaystyle \ X}$ mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

Klassifikazzjoni

Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet

• funzjoni injettiva
• funzjoni surjettiva
• funzjoni bijettiva
• endofunzjoni
• permutazzjoni
• involuzzjoni

Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju

• funzjoni numerika
• funzjoni diskreta
• suċċessjoni
• funzjoni ta’ varjabbli reali
• funzjoni ta’ varjabbli komplessa
• morfiżmu
• funzjoni ta’ sett
• funzjoni indikatriċi

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià

• funzjoni rikorsiva primittiva
• funzjoni kalkulabbli
• funzjoni rikorsiva
• funzjoni rikorsiva totali
• funzjoni enumerattiva

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali

• funzjoni armonika
• funzjoni kontinwa
• funzjoni pari u funzjoni dispari
• funzjoni tiżdied, funzjoni tonqos u funzjoni monotona
• funzjoni polinomjali
• funzjoni razzjonali fratta
• funzjoni traxendenti
• funzjoni differenzjabbli
• funzjoni lixxa
• funzjoni analitika
• funzjoni olomorfa
• funzjoni antjolomorfa
• funzjoni meromorfa
• funzjoni konvessa
• funzjoni integrali
• funzjoni ċilindrika

Xi funzjonijiet magħrufa

• funzjoni Beta, funzjoni Gamma
• funzjonijiet trigonometriċi: senu, kosenu, tanġent, kotanġent
• funzjoni identità

Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku

• Funzjoni ta’ ripartizzjoni
• Funzjoni ta’ probabbiltà
• Funzjoni ta’ densità
• Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti
• Funzjoni karatteristika

Portal Matematika