Sistem dinamik

Sistem dinamik ialah satu konsep di dalam matematik di mana satu hukum tetap menerangkan kebergantungan satu titik terhadap masa dalam ruang geometri. Antara contohnya ialah model matematik yang menerangkan hayunan bandul jam dan aliran air di dalam paip.

Pada sebarang masa yang diberi, satu sistem dinamik memiliki keadaan yang ditentukan oleh satu set nombor nyata (satu vektor) yang boleh diwakili oleh satu titik dalam ruang fasa yang bersesuaian. Sebarang perubahan kecil dalam keadaan sistem adalah bergantung pada perubahan kecil dalam nombor-nombor. Hukum evolusi untuk sistem dinamik ialah hukum tetap yang menerangkan apakah keadaan masa depan akibat dari keadaan masa kini. Hukum ini adalah deterministik; dalam erti kata lain, untuk setiap selang masa yang diberi, hanya satu keadaan masa depan yang berlaku akibat dari keadaan masa kini.

Definisi am

Secara umumnya, sistem dinamik ialah satu tupel (T, M, Φ) di mana T ialah monoid, ditulis sebagai tambahan, M ialah set dan Φ ialah fungsi.

${\displaystyle \Phi :U\subset T\times M\to M}$

dengan

${\displaystyle I(x)=\{t\in T:(t,x)\in U\}\,}$

${\displaystyle \Phi (0,x)=x\,}$

${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{1}+t_{2},x),\,}$ for ${\displaystyle \,t_{1},t_{2},t_{1}+t_{2}\in I(x)\,}$

Fungsi Φ(t,x) dikenali sebagai fungsi evolusi sistem dinamik: ia mengaitkan setiap titik di dalam set M dengan satu imej unik, bergantung kepada pemboleh ubah t, yang dipanggil parameter evolusi. M dipanggil ruang fasa atau ruang keadaan, sementara pemboleh ubah x dipanggil keadaan asal sistem tersebut. Fungsi akan ditulis seperti berikut:

${\displaystyle \Phi _{x}(t):=\Phi (t,x)\,}$

${\displaystyle \Phi ^{t}(x):=\Phi (t,x)\,}$

jika kita anggap salah satu pemboleh ubah adalah tetap.

${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to M}$

dipanggil aliran melalui x dan graf trajektorinya melalui x. Set di bawah:

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$

dipanggil orbit melalui x. Satu subset S dalam ruang fasa M dikenali sebagai Φ-tak varian jika untuk semua x dalam S dan semua t dalam ${\displaystyle T}$.

${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$

Secara khasnya, untuk S menjadi Φ-tak varian, kita memerlukan ${\displaystyle I(x)=T}$ untuk semua ${\displaystyle x}$ dalam ${\displaystyle S}$. Dalam erti kata lain, aliran menerusi x mesti ditentukan pada setiap masa untuk setiap elemen ${\displaystyle S}$.