Logaritma asli

Dalam bidang matematik, logaritma asli ialah logaritma asas ${\displaystyle e}$, di mana ${\displaystyle e}$ ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis ${\displaystyle \ln(x)}$, ${\displaystyle \log _{e}(x)}$ atau kadang-kadang, jika asas ${\displaystyle e}$ adalah implisit, sekadar ${\displaystyle \log(x)}$.

Logaritma asli bagi sebarang nombor ${\displaystyle x}$ (ditulis ${\displaystyle \ln(x)}$) ialah nombor kuasa bagi ${\displaystyle e}$ untuk memperoleh ${\displaystyle x}$. Sebagai contoh, ${\displaystyle \ln(7.389...)}$ sama dengan 2, kerana ${\displaystyle e^{2}=7.389...}$. Logaritma asli bagi ${\displaystyle e}$ itu sendiri (${\displaystyle \ln(e)}$) ialah 1 kerana ${\displaystyle e^{1}=e}$, manakala logaritma asli bagi 1 (${\displaystyle \ln(1)}$) ialah 0, kerana ${\displaystyle e^{0}=1}$.

Takrif

${\displaystyle \ln(x)}$ ditakrifkan sebagai luas di bawah lengkung ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ dari 1 ke ${\displaystyle x}$.

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ dari 1 ke ${\displaystyle a}$, iaitu kamiran,

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}$

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan ${\displaystyle t={\tfrac {x}{a}}}$ seperti berikut:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}$

Nombor ${\displaystyle e}$ ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana ${\displaystyle \ln(a)=1}$.

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!}$. Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua ${\displaystyle x}$ yang positif.

Sifat-sifat

Berikut ialah sifat-sifat logaritma asli:

• ${\displaystyle \ln(1)=0\,}$

• ${\displaystyle \ln(-1)=i\pi \quad \,}$ (lihat logaritma kompleks)

• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\;}$

• ${\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {for}}\quad h>-1\;}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,}$