മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം

${\displaystyle {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}}$ എന്ന ഫലനം ${\displaystyle {z=0}}$ ൽ നിന്ന് ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ അനന്തതയിലേക്ക് വ്യതിചലിക്കാത്ത ${\displaystyle c}$ എന്ന മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം (Mandelbrot set). ഇവിടെ, ${\displaystyle {\displaystyle f_{c}(0)},{\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}}$ എന്ന ക്രമം ഒരു കേവല മൂല്യത്തിലേക്ക് പരിമിതപ്പെട്ടിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ബെനോയിറ്റ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിനോടുള്ള ആദരസൂചകമായി ആഡ്രിയൻ ഡൗഡിക്ക് നൽകിയതാണ് ഈ പേര്.^[1]

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിലേക്ക് സൂം ചെയ്യുമ്പോ.

ഇടതടവില്ലാത്ത നിറമുള്ള പരിതസ്ഥിതിക്കുള്ളിൽ സ്ഥിതിച്ചെയ്യുന്ന മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം (കറുപ്പ് നിറത്തിൽ).

വെബ്‌ജിഎൽ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരികച്ച മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റ "നോട്ടിലസ്" (Nautilus) വിഭാഗം. ഫലനത്തിൻ്റ ആവർത്തനം അനന്തതയിലേക്ക് പുരോഗമിക്കുന്നു.

ഓരോ പിക്സലും ആവർത്തനങ്ങളുടെ സ്ഥിരമൂല്യം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ആനിമേഷൻ

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ വിശദാംശങ്ങൾ

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റ ചിത്രങ്ങൾ വിപുലവും അനന്തമായ സങ്കീർണ്ണതകളുള്ള അതിരുകൾ പ്രകടമാക്കുന്നു. അത് എത്ര വലുതാക്കി നോക്കിയാലും, തുടർച്ചയായി ആവർത്തിച്ചു വരുന്ന സൂക്ഷ്മമായ വിശദാംശങ്ങളെ കാണാൻ സാധിക്കും, ഇത് മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിൻ്റെ അതിർത്തിയെ ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ കർവാക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിൽ ആവർത്തിച്ചുവരുന്ന വിശദാംശങ്ങളുടെ "ശൈലി" ഗണത്തിലെ പരിശോധിക്കപ്പെടുന്ന പ്രദേശത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ഓരോ മിശ്രസംഖ്യകളെയും ${\displaystyle c}$ എന്നെടുത്താൽ ${\displaystyle {c,\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }}$ എന്ന ശ്രേണി അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിച്ചുകോണ്ട് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ചിത്രം നിർമിക്കാൻ സാധിക്കും. ${\displaystyle c}$ യിലെ വാസ്തവിക ഭാഗവും അവാസ്തവിക ഭാഗവും മിശ്രപ്രതലത്തിലുള്ള (complex plane) ചിത്രത്തിൻ്റെ സൂചകസംഖ്യകളായി എടുത്താൽ, ഓരോ പിക്സലുകളും ${\displaystyle {\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }}$ എന്ന ശ്രേണി എത്ര വേഗം ഒരു തിരഞ്ഞെടുത്ത സംഖ്യ (ആ സംഖ്യ ചുരുങ്ങിയത് 2 ആകണം, അതല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തുമാകാം) മറികടക്കുമെന്ന് നോക്കി നിറം നൽകാം. ഇനി ${\displaystyle c}$ എന്നത് ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായി എടുക്കുകയും ${\displaystyle {\displaystyle z}}$ യുടെ പ്രാരംഭ മൂല്യം അസ്ഥിരമാക്കുകയും ചെയ്കാൽ, ${\displaystyle {\displaystyle c}}$ യോട് അനുബന്ധിതമായ ജൂലിയ ഗണം ലഭിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പുറത്തും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം അതിൻ്റെ സൗന്ദര്യാത്മക ആകർഷണത്തിനും ലളിതമായ നിയമങ്ങളുടെ പ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ ഘടനയുടെ ഉദാഹരണത്തിനും ജനപ്രിയമാണ്. ഗണിതത്തിൻ്റെ ദൃശ്യവൽക്കരണം, ഗണിതത്തിൻ്റെ സൗന്ദര്യം, അലങ്കാരം എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

ചരിത്രം

1978- ൽ റോബർട്ട് ഡബ്ല്യു. ബ്രൂക്‌സും പീറ്റർ മാറ്റെൽസ്‌കിയും ചേർന്ന് പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ആദ്യ ചിത്രം

20-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ പിയറി ഫാറ്റൂവും ഗാസ്റ്റൺ ജൂലിയയും ചേർന്ന് ആദ്യമായി മിശ്രചലനാത്മകതയിൽ അന്വേഷണം നടത്തുന്നതിനിടയിലാണ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഉത്ഭവിച്ചത്. ക്ലീനിയൻ ഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൻ്റെ ഭാഗമായി 1978-ൽ റോബർട്ട് ഡബ്ല്യു. ബ്രൂക്‌സും പീറ്റർ മാറ്റെൽസ്കിയും ചേർന്നാണ് ഈ ഫ്രാക്റ്റൽ ആദ്യമായി നിർവചിക്കുകയും വരയ്ക്കുകയും ചെയ്തത്. ^[2] 1980 മാർച്ച് 1-ന് ന്യൂയോർക്കിലെ യോർക്ക്‌ടൗൺ ഹൈറ്റ്‌സിലുള്ള ഐ.ബി.എം- ൻ്റെ തോമസ് ജെ. വാട്‌സൺ റിസർച്ച് സെൻ്ററിൽ, ബെനോയിറ്റ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ടാണ് ആദ്യമായി ഗണത്തിൻ്റെ ദൃശ്യവൽക്കരണം കാണ്ടത്. ^[3]

1980ൽ പുറത്തിറക്കിയ ഒരു ലേഖനത്തിൽ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ദ്വിഘാത ബഹുപദങ്ങളുടെ പാരാമീറ്റർ സ്ഥലത്തിനെ കുറിച്ച് പഠിച്ചു. ^[4] മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനം യഥാർത്ഥത്തിൽ ആരംഭിച്ചത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ അഡ്രിയൻ ഡൗഡി, ജോൺ എച്ച്. ഹബ്ബാർഡ് (1985) എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെയാണ്,^[5] അവർ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പല സവിശേഷതകൾ സ്ഥാപിക്കുകയും ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയിയെ സ്വാധീനിച്ച മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിൻ്റെ പഠനങ്ങൾക്ക് ബഹുമാന സൂചകമായി സെറ്റിന് തൻ്റെ പേര് നൽകുകയും ചെയ്തു.

ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ, പുസ്തകങ്ങൾ (1986), ^[6] ജർമ്മൻ ഗോഥെ-ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യട്ടിൻ്റെ (1985) അന്താരാഷ്ട്ര ടൂറിങ് പ്രദർശനം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഗണത്തിനെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നതിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ഹൈൻസ്-ഓട്ടോ പീറ്റ്‌ജെനും പീറ്റർ റിച്ചറും പ്രശസ്തരായി. ^{[7] [8]}

1985 ഓഗസ്റ്റിലെ സയൻ്റിഫിക് അമേരിക്കയുടെ പുറം ലേഖനത്തിൽ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള നി൪ദ്ധരണി അനേകം പ്രേക്ഷകർക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തി. പെയ്റ്റ്ഗൻ എറ്റ് ആൽ സൃഷ്‌ടിച്ച −0.909 -0.275 i എന്നതിൽ Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine. സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിൻ്റെ ചിത്രം കവറിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. ^[9] 1980-കളിൽ വ്യക്തിഗത കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉയർന്ന ഗുണമേന്മയിൽ ഗണത്തിൻ്റെ ചിത്രങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ തക്ക ശക്തിയുള്ളതായി മാറിയപ്പോൾ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഒരു പ്രമുഖ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ് ഡെമോയായി മാറി . ^[10]

ഡൗഡിയുടെയും ഹബ്ബാർഡിൻ്റെയും പഠനങ്ങളും മിശ്രചലനാത്മകതയിലും അമൂർത്ത ഗണിതത്തിലും അത്യന്തം വർദ്ധിച്ചുവന്ന താൽപ്പര്യവും ഒത്തുചേരുന്ന അന്നുമുതൽ, മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ പഠനം ഈ മേഖലയുടെ കേന്ദ്രബിന്ദുവായി. അതിനുശേഷം ഈ ഗണത്തിനെ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായം നൽകിയ എല്ലാവരുടെയും ഒരു സമ്പൂർണ പട്ടിക വളരെ നീണ്ടതാണ്, എന്നാൽ അതിൽ ജീൻ-ക്രിസ്റ്റോഫ് യോക്കോസ്, മിത്സുഹിറോ ഷിഷികുറ , കർട്ട് മക്മുള്ളൻ, ജോൺ മിൽനോർ, മിഖായേൽ ല്യൂബിച്ച് എന്നിവരും ഉൾപ്പെടും.^{[11] [12]}

ഔപചാരിക നിർവചനം

${\displaystyle {\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}}$ എന്ന ദ്വിഘാത രൂപാന്തരത്തിൻ്റെ ആവർത്തനത്തിൽ നിർണ്ണായക ബിന്ദുവായ z = 0-ൻ്റെ പഥം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മിശ്രപ്രതലത്തിലുള്ള (complex plane) c എന്ന മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം.^[13]

അങ്ങനെ, z₀ 0 -ൽ നിന്നാരംഭിച്ച് ആവർത്തിച്ച് ആവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, z_n ൻ്റെ (ഇവിടെ n > 0) കേവലമൂല്യം ഒരു പരിധിക്കുള്ളിൽ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, c എന്ന മിശ്രസംഖ്യ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിലെ ഒരംഗമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, c യിന്റ മൂല്യം 1 എന്നു കൊടുത്താൽ, 0, 1, 2, 5, 26, ... എന്ന ശ്രണി ലഭിക്കും. ഇത് അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ 1 എന്നത് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തൻ്റെ ഒരു ഘടകമല്ല. മറുവശത്ത്, c യിന്റ മൂല്യം -1 എന്നു കൊടുത്താൽ 0, −1, 0, −1, 0, ..., എന്ന ശ്രണി ലഭിക്കും, 0 നും -1 നും ഇടയിൽ പരിമിതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ −1 ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്.

ബഹുപദങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ കണക്ട്നെസ് ലോക്കസ് ആയും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തെ നിർവചിക്കാം.

അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഒരു ഒതുക്കമുള്ള ഗണമാണ്, കാരണം അത് അടഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനാൽ ആധാരബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ആരം 2 ആയ വ്യത്തത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. കൂടുതൽ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യ ${\displaystyle c}$ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൽ പെടണമെങ്കിൽ ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ (ഇവിടെ ${\displaystyle n\geq 0}$). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ${\displaystyle c}$ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ${\displaystyle M}$ -ലാകണമെങ്കിൽ ${\displaystyle z_{n}}$ ൻ്റെ കേവലമൂല്യം 2-ലോ അതിന് താഴെയോ ആയി നിലനിൽക്കണം. ആ കേവലമൂല്യം 2 കവിയുമ്പോൾ, ശ്രേണി അനന്തതയിലേക്ക് പോകും.

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണവും ലോജിസ്റ്റിക് മാപ്പിൻ്റെ വിഭജനചിത്രവും തമ്മിലുള്ള സാദ്യശ്യം

${\displaystyle z_{n}}$ ൻ്റെ ആവർത്തകം ലംബമായ അക്ഷത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഗണം പരിമിതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നിടത്ത് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് വിഭജിക്കുന്നത് കാണാം.

യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തിൻ്റേയും ${\displaystyle M}$ൻ്റേയും സംഗമം കൃത്യമായി [−2, 1/4] എന്ന ഇടവേളയാണ്. ഈ ഇടവേളയിലുള്ള ഘടകങ്ങളെ യഥാർത്ഥ ലോജിസ്റ്റിക് കുടുംബത്തിലെ ഘടകങ്ങളുമായി പരസ്പരസാദൃശ്യപ്പെടുത്താം.

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഈ സാദൃശ്യം വെളിവാക്കുന്നു.

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right),\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

ഇത് ലോജിസ്റ്റിക് കുടുംബത്തിൻ്റെയും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെയും മുഴുവൻ പാരാമീറ്റർ സ്ഥലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സാമ്യം പ്രകടമാക്കുന്നു.

ഡൗഡിയും ഹബ്ബാർഡും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം യോചിച്ചുകിടക്കുന്നതായി തെളിയിച്ചു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം വിയോചിച്ച്കിടക്കുന്നു എന്ന് ആദ്യം നിഗമിച്ചിരുന്നു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേർത്ത തന്തുക്കൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയാത്ത പ്രോഗ്രാമുകൾ സൃഷ്ടിച്ച കമ്പ്യൂട്ടർ ചിത്രങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു ഈ നിഗമനം. കൂടുതൽ പരീക്ഷണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, അദ്ദേഹം തൻ്റെ അനുമാനം തിരുത്തി, ${\displaystyle M}$ യോചിച്ചുകിടക്കുന്നതായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിച്ചു. ഈ യോചിപ്പിന് 2001 -ൽ ജെറമി കാൻ കണ്ടെത്തിയ ടോപ്പോളജിക്കൽ തെളിവും നിലവിലുണ്ട്. ^[14]

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ഒന്നാം ആവർത്തനാങ്കത്തിൻ്റെ അടുത്തുള്ള ബാഹ്യ രശ്‌മികൾ

ഡൗഡിൻ്റെയും ഹബ്ബാർഡിൻ്റെയും ${\displaystyle M}$ൻ്റെ യോചിപ്പിൻ്റെ തെളിവിൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ പൂരകത്തിൻ്റെ ഏകീകൃത രൂപീകരണത്തിനുള്ള ചലനാത്മകമായ സൂത്രവാക്യം, മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ബാഹ്യ കിരണങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തെ കുറിച്ച് സഞ്ചയനശാസ്ത്രപരമായി പഠിക്കാനും യോക്കോസ് പാരാപസിലിൻ്റെ അടിത്തറ രൂപപ്പെടുത്താനും ഈ കിരണങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടും. ^[15]

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ അതിർത്തി കൃത്യമായി ദ്വിഘാതങ്ങളുടെ കുടുംബത്തിൻ്റെ വിഭജന സ്ഥാനമാണ്.

ബീജഗണിത വളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി സെറ്റായി ഇത് നിർമ്മിക്കാം, മണ്ടൽബ്രോട്ട് കർവുകൾ പോളിനോമിയൽ ലെംനിസ്കേറ്റുകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന പൊതു തരം. ${\displaystyle p_{0}=z,p_{n}+1=p_{n}^{2}+z}$ എന്ന് സജ്ജീകരിച്ച്, തുടർന്ന് പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റ് വ്യാഖ്യാനിച്ചാണ് Mandelbrot കർവുകൾ നിർവചിക്കുന്നത് ${\displaystyle |p_{n}(z)|=2}$ എന്നിവയിൽ ഡിഗ്രി ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ന്റെ യഥാർത്ഥ കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ ഒരു വക്രമായി സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ. ഓരോ വക്രവും ${\displaystyle n>0}$ എന്നത് ${\displaystyle p_{n}}$ ന് കീഴിലുള്ള ആരം 2 ന്റെ പ്രാരംഭ വൃത്തത്തിന്റെ മാപ്പിംഗ് ആണ്. ഈ ബീജഗണിത കർവുകൾ താഴെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന "എസ്‌കേപ്പ് ടൈം അൽഗോരിതം" ഉപയോഗിച്ച് കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്ത മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റിന്റെ ചിത്രങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു.

മറ്റ് സവിശേഷതകൾ

മുഖ്യ ഹൃദയാഭവും ആവർത്തനാങ്ക ഗോളങ്ങളും

അതിവലയ ഘടകങ്ങളുടെ ആവർത്തനാങ്കങ്ങൾ

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ചിത്രം നോക്കുമ്പോൾ ഒരാൾ പെട്ടെന്ന് മധ്യഭാഗത്തെ വലിയ ഹൃദയാഭത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു . ഈ പ്രധാന കാർഡിയോയിഡ് പരാമീറ്ററുകളുടെ മേഖലയാണ് ${\displaystyle c}$ അതിനായി ഭൂപടം

1. Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
2. Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in Irwin Kra (1 May 1981). Irwin Kra (ed.). Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (PDF). Bernard Maskit. Princeton University Press. ISBN 0-691-08267-7. Archived from the original (PDF) on 28 July 2019. Retrieved 1 July 2019.
3. R.P. Taylor & J.C. Sprott (2008). "Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers" (PDF). Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences. 12 (1). Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences: 117–129. PMID 18157930. Retrieved 1 January 2009.
4. Mandelbrot, Benoit (1980). "Fractal aspects of the iteration of ${\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z)}$ for complex ${\displaystyle \lambda ,z}$". Annals of the New York Academy of Sciences. 357 (1): 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x.
6. Peitgen, Heinz-Otto; Richter Peter (1986). The Beauty of Fractals. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.
7. Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.
8. Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. London: Cardinal. p. 229.
9. John Briggs (1992). Fractals: The Patterns of Chaos. p. 80.
10. Pountain, Dick (September 1986). "Turbocharging Mandelbrot". Byte. Retrieved 11 November 2015.
11. Lyubich, Mikhail (May–June 1999). "Six Lectures on Real and Complex Dynamics". Retrieved 4 April 2007. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)^{[പ്രവർത്തിക്കാത്ത കണ്ണി]}
12. Lyubich, Mikhail (November 1998). "Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family" (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 95 (24): 14025–14027. Bibcode:1998PNAS...9514025L. doi:10.1073/pnas.95.24.14025. PMC 24319. PMID 9826646. Retrieved 4 April 2007.
13. "Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary". Retrieved 7 October 2007.
14. Kahn, Jeremy (8 August 2001). "The Mandelbrot Set is Connected: a Topological Proof" (PDF).
15. The Mandelbrot set, theme and variations. Tan, Lei. Cambridge University Press, 2000. ISBN 978-0-521-77476-5. Section 2.1, "Yoccoz para-puzzles", p. 121