Метрички тензор
From Wikipedia, the free encyclopedia
Во математички областа на диференцијална геометрија, метрички тензор е тип на функција која ги зема како влез еден пар на тангентни вектори v и w во една точка на површината (или повисоко димензионални диференцијабилна сложеност) и произведува реалниот број склар g(v, w) на начин на кој се генерализираат многу од познатите својства на точка производ на вектори во Евклидиски простор. На ист начин како точка на производот, метрички тензор се користи да се дефинира должина и агол помеѓу тангент вектори. Преку интегрирање, мерички тензор овозможува да се дефинираат и да се пресмета должината на кривините на колектор.
Еден метрички тензор се нарекува позитивно определен, ако се дава позитивна вредност g(v, v) > 0 за секој ненулти вектор v. Сложеност со позитивно-дефинитивни метрички тензор е познат како сложеност на Риеманниан. На Сложеноста на Риеманниан, кривата поврзува две точки (на локално ниво) е најмалата должина и се нарекува геодезија, и нејзината должина е растојанието што патник во сложеноста треба да го помине од една точка до друга. Опремени со оваа претстава на должината, Сложеноста на Риеманиан е метрички простор, што значи дека таа има функција растојание d(p, q) , чија вредност на еден пар на точките p и q е растојанието од p до q . Спротивно на тоа, метричкиот тензор сам по себе е изведен од функцијата за растојание (земени во соодветен начин). На тој начин метрички тензор дава бесконачно мало растојание на сложеноста.
Додека идејата за еден метрички тензор беше позната во некоја смисла од математичари како што се Карл Гаус од почетокот на 19 век, сè до почетокот на 20-от век, дека нејзините својства како тензор беа разбрани од страна на, особено, Грегорио Ричи-Курбастро и Тулио Леви-Чивита, кои први го кодифицираа поимот на тензор. Метрички тензор е пример на тензорско поле.
Компоненти на еден метрички тензор во координатна основа се земе во форма на симетрична матрица чии записи се трансформираат компаративно под промени на координатен систем. На тој начин метрички тензор е компаративно симетрички тензор. Од координатите-независен точка на гледање, поле на метрички тензор е дефинирано да биде негенерирачка симетрична билинеарна форма на секој тангентен простор кој се движи непречено од точка до точка.