Фина структура

Фина структура — разделувањето на атомските спектрални линии кое се должи на спинот на електронот и релативистичките исправки до нерелативистичката Шредингерова равенка.

Интерферентни прстени, кои ја прикажуваат фината структура (делењето) на разладениот деутериум, гледан низ Фабри-Перовиот еталон.

Целата структурата на спектралните линии се согледува преку линискиот спектар, кој е предвиден од страна на квантната механика на не-релативистички електрони кои немаат спин. За водородниот атом, целокупното ниво на распределбата на енергија зависи исклучиво од основниот главен квантен број n. Меѓутоа, за многу попрецизен модел се земаат предвид релативистичките ефекти и спиновите, кој го разбиваат изродувањето на енергетските нивоа со што доведуваат до поделба на спектралните линии. Големината на Фината структура во однос на целата структура на енергии е од големина на (Zα)²Zα) каде што Z е атомскиот број а α е константата на фината структура, бездимензионален број кој изнесува приближно ${\displaystyle 1/137}$.

фината структура може да се подели на три соодветни поими: кинетичка енергија, спинска орбита и Дарвнинов метод. Целосниот Хамилтонијан е запишан со равенката :

${\displaystyle H=H_{0}+H_{\mathrm {kinetic} }+H_{\mathrm {so} }+H_{\mathrm {Darwinian} }.\!}$

Ова може да се забележи од нерелативистичката приближност на Дирковата равенка.

Релативистичка исправка на кинетичката енергија

Класична равенка за кинетичката енергија е : ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}},}$ каде ${\displaystyle p}$ е импулсот и ${\displaystyle m}$ е масата на електрони. Сепак кога ќе се рамисли за теоријата на природата и специјалната релативистичка теорија, мора да користиме релативистичка форма на кинетичката енергија.

${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2},}$

каде што првиот термин е вкупната релативистичка енергија, а вториот е останатата енергија на електронот.(c е брзината на светлината) Проширувајќи го ова во Тајлеровите серии (посебни биномни серии) ќе најдеме

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\cdots .}$

Потоа првaтa исправката на Хамилтон е

${\displaystyle H_{\mathrm {kinetic} }=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

Користејќи се со оваа пречка, можеме да ги пресметаме енергетските исправки поради релативистичките ефекти.

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert H'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle }$

Каде што ${\displaystyle \psi ^{0}}$ е смирена бранова функција. Од тука следува :

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}}$

За водородниот атом ${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$, ${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}}$, and ${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}}$ каде ${\displaystyle a_{0}}$е боров полупречник,${\displaystyle n}$ e главен квантен број и ${\displaystyle l}$ е квантен број. Затоа првата исправка на водородниот атом е

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{4}}{(l+{\frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}}$

каде искористивме:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{2a_{0}n^{2}}}}$

Конечната пресметка за релативистичката исправка на основната состојва е : ${\displaystyle -9.056\times 10^{-4}\ {\text{eV}}}$.

Спој на спин-орбита

За водороден атом со ${\displaystyle Z}$ протони, орбитанлно забрзување ${\displaystyle {\vec {L}}}$ и електронски спин ${\displaystyle {\vec {S}}}$,равенката на спин-орбитата е дадена со :

${\displaystyle H_{so}={\frac {1}{2}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}{r^{3}}}}$

${\displaystyle m_{e}}$ e масата на електронот, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ е вакуум, ${\displaystyle g_{s}}$ е спин g-фактор. ${\displaystyle r}$ е растојанието на електронот до јадрото. Исправката на спин-орбита може да биде разбрана од страна на менувањето на стандардната референтна рамка (каде што електронот орбитрира околу јадрото) во едно место каде то електронот е во мирување, а наместо тоа јадрото орбитрира.Во овој случај јадрата што орбитрираат со иста ефикасност, генерираат магнетно поле.Сепак самиот електрон има магнетен момент поради неговиот вроден аголен момент.Двата магнетни вектори ${\displaystyle {\vec {B}}}$ и ${\displaystyle {\vec {B}}}$ меѓу кој постои одредена енергија која зависи од нивната релативна ориентација. Ова доведува до енергетска исправка:

${\displaystyle \Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

Но тука постои и фактор 2,наречен Томасова прецесија, која доаѓа од релативистичката пресметка дека се враќа назад на рамката на електрони од рамката на јадрото. Од тука :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle &={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\\\left\langle {\vec {L}}\cdot {\vec {S}}\right\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\end{aligned}}}$

каде вредност за очекувањата на Хамилтон се :

${\displaystyle \left\langle H_{SO}\right\rangle ={\frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-l(l+1)-{\frac {3}{4}}}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}}$

Taка големината на спојувањето на спин – орбитралата е : ${\displaystyle {\frac {Z^{4}}{n^{3}(j+1/2)}}10^{-5}{\text{ eV}}}$. Напомена: На (n, l, s) = (n, 0,1 / 2) и (n, l, s) = (n, 1, -1 / 2) нивото на енергија, и нивото на фината структура се исти. Ако го земеме г-фактор да биде 2,0031904622, тогаш, пресметаното ниво на енергија ќе биде различно со користење на 2 како г-фактор. Само со користење на 2 како Г-фактор, може да одговараат на нивото на енергија во 1 само со приближување на релативистичката исправка.

Дарвинов Метод

Дирковата равенка е дадена со :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\mathrm {Darwinian} }&={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)\\\langle H_{\mathrm {Darwinian} }\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\\psi (0)&=0{\text{ for }}l>0\\\psi (0)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{ for }}l=0\\H_{\mathrm {Darwinian} }&={\frac {2n}{m_{e}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}}$

Taка терминот на Дарвин влијае само на S-орбитата.На пример тоа му ја дава на 2s-орбитата истата енергија како на 2p-орбитата со подигање на 2s-состојбата за 9,057⋅10^-5 eV.Терминот на Дарвин го менува делотворниот потенцијал на јадрото.Toа може да се истолкува како мачкање на електростатистичата интеракција помеѓу електроните и јадрото,или брзи квантни осцилации на електронот.Квантните флуктации овозможуваат создавање на виртуелни позитивни електрони кои се проценуваат со приципот на несигурност : ${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}}$.Растојанието кое честитките може да го поминат во текот на ова време е : ${\displaystyle \xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda _{c}}$ -брановата должина на Комтон. Електроните на атомот комуницираат со парови. Ова ја дава позицијата на нестабилните електрони ${\displaystyle {\vec {r}}+{\vec {\xi }}}$. Со користење на Тејлоровато проширување,ефектот врз потенцијалот ${\displaystyle U}$ може да се пресмета :

${\displaystyle U({\vec {r}}+{\vec {\xi }})\approx U({\vec {r}})+\xi \cdot \nabla U({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U({\vec {r}})}$

Во просек текот на флуктации : ${\displaystyle {\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},}$ Го дава просечниот потенцијал : ${\displaystyle {\overline {U\left({\vec {r}}+{\vec {\xi }}\right)}}=U\left({\vec {r}}\right)+{\frac {1}{6}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left({\vec {r}}\right).}$ Приближно ${\displaystyle {\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\approx \lambda _{c}^{2}}$, Ова дава ужас на потенцијалот поради флуктациите:

${\displaystyle \delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda _{c}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6m^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U}$

Ако го уклучиме потенцијалот на Кулон ќе се добие:

${\displaystyle \nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\delta ({\vec {r}})\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6m^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\delta ({\vec {r}})}$

Целосен ефект

Вкупниот ефект добиен со собирање на 3 компоненти е даден со::^[1]

${\displaystyle \Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,}$

каде ${\displaystyle j}$ е вкупниот аголен момент(${\displaystyle j=1/2}$ ако ${\displaystyle l=0}$ и ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$). Овој израз првпат бил употребен од А.Зомерфелд и е заснован на Боровата теорија.

Поврзано

• Спин-орбитално заемодејство
• Хиперфина структура

Наводи

1. Berestetskii, V. B.; E. M. Lifshitz; L. P. Pitaevskii (1982). Quantum electrodynamics. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-3371-0.

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

Додатни линкови

• Hyperphysics: Fine Structure
• University of Texas: The fine structure of hydrogen