Траекторија

Траекторија или патека на летот е патека на движење на објектот  што се следи преку простор, како функција за време.^[1] Објектот може да биде проектил или сателит. На пример, тоа може да биде орбита — патот на планета, некој астероид или комета , која патува околу централната маса. Една траекторија може да се опише математички или од страна на геометријата на патот или како позиција на објектот со текот на времето.

Во теоријата за управување, траекторијата е време поставено од членовите на динамичкиот систем ( на пример Poincaré мапата). Во дискретната математика, траекторијата е низа ${\displaystyle }$ на вредностите пресметани од страна на повторувачка апликација на мапирање ${\displaystyle }$ до елементот ${\displaystyle }$ на нејзиниот извор.

Илустрацијата ја покажува траекторијата на куршум испукан во некоја нагорна цел.

Физика на траектории

Познат пример за траекторијата е патот на проектилот, како што се фрлаат топката или карпата. Во значително поедноставен модел, објектот се движи само под влијание на  гравитациската сила. Ова може да биде добар показател за карпа - дека е фрлена на кратки растојанија, на пример на површината на месечината. Во ова едноставно приближување, траекторијата зема облик на парабола. Генерално, кога утврдуваме траектории, тоа може да биде потребно за да одговара на неформалните гравитациски сили и отпорот на воздухот (влечи и аеродинамика). Ова е во фокусот на дисциплината на балистика.

Еден од најпознатите достигнувања на Њутновата механика е изведувањето на законите на Кеплер. Во гравитациското поле на материјална точка или сверично-симетрично продолжната маса (како на пример Сонцето), траекторијата на предметот во движење е конусен дел, обично е елипса или хипербола.[пониски-алфа 1] Ова се согласува со забележаните орбити на планетите, кометите и вештачки вселенски летала на разумно добра приближност, иако ако кометата поминува блиску до Сонцето, тогаш исто така, зависи и од други сили , како што се сончевиот ветер и радиоактивен притисок, кои ќе ја изменат орбитата и ќе предизвика кометата да го исфрли материјалот во вселената.

Њутнобата теорија подоцна се развива во плодот на теоретската физика позната како класична механика. Таа ја вклучува математиката од диференцијални пресметки (кои исто така биле иницирани од страна на Њутн во текот на неговата младост). Во текот на вековите, безброј научници имаат свој придонес во развојот на овие две дисциплини. Класичната механика стана една од најистакнатите демонстрации на моќта на рационалната мисла, односно причина, во науката како и во технологијата. Тоа им помага да се разбере и да се предвиди со огромен спектар на феномени; додека траекториите  се само еден пример.

Се смета дека честичката на масата ${\displaystyle }$, движејќи се во потенцијалното поле ${\displaystyle }$. Физички гледано, масата претставува инерција, а на полето ${\displaystyle }$ претставува надворешните сили на одреден вид се познати како "конзервативни". Со оглед на ${\displaystyle }$ на сите релевантни позиции, постои начин да заклучиме поврзани сили кои ќе дејствуваат во таа положба, велат од гравитацијата. Сепак не сите сили можат да бидат изразени на овој начин.

Движење на честичките е опишано од вториот ред  на диференцијалната равенка

${\displaystyle }$

На десната страна, силата е дадена во однос на ${\displaystyle }$, разликата на потенцијалите, земени во позиции заедно со траекторијата. Ова е математичка форма на Њутновиот втор закон за движење: силата е еднаква на масата по временското забрзување, за такви ситуации.

Примери

Еднолична гравитација, без сопирање или ветер

Траектории на маса фрлени во еден агол од 70°:
     без сопирање
     со Стоуксово сопирање
     со Њутново сопирање

Идеалниот случај на движење на проектилот во гравитациското поле во отсуство на други сили (како што се воздушното влечење) првпат било истражено од страна на Галилео Галилеј. Да се занемари влијанието на атмосферата во обликувањето на траекторијата ќе се смета дека е залудна хипотезата на практично - настроените истражувачи од Средниот Век во Европа. Сепак, со предвидување на постоењето на вакуум, за подоцна да биде демонстрирано на Земјата од страна на неговиот соработник Еванџелиста Торичели , Галилео беше во можност да иницира за иднина наука на механиката. Во близина на вакуум, како на пример на Месечината, неговата поедноставена параболична траекторија во суштина се докажува како точна. ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$  ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$.Ќе се покаже дека опсегот е  ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$, и максималната височина е ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$. Максималниот опсег за дадена почетна брзина V се добива кога ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$, односно почетната агол е 45 степени. Овој избор е ${\displaystyle v^{2}/g}$,и максималната височина на максимален опсег е ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$.

Деривација на равенката на движење

Да претпоставиме дека движењето на проектилот се мери од рамката на слободен пад која може да биде во (x, y) = (0,0) на t = 0. Равенката на движење на проектилот во оваа рамка (од страна на принципот на еквивалентност) ќе биде ${\displaystyle }$. Координатите на оваа рамка на слободниот пат, со почитување на нашата интерцијална рамка ќе биде ${\displaystyle }$. Тоа е, ${\displaystyle }$.

Сега преведување назад кон интерцијалната рамка се врши координација на проектилот и станува ${\displaystyle }$ Тоа е:

${\displaystyle }$

(каде v₀ е почетна брзина, ${\displaystyle }$ е аголот на котата, и g е на забрзување поради гравитацијата).

Опсег и висина

Траектории на проектили лансирани во различни кота агли, но со иста брзина од 10 m/s во вакуум и единствена надолна гравитацијата од 10 m/s². Бодови се наоѓаат од 0,05 s интервали и должината на нивните опашки е линеарно пропорционален на нивната брзина. t = време од лансирањето, Т = време на летот, R = опсег и H = највисоката точка на траекторијата (обележани со стрелки).

Спектарот, R, е најголемата далечина каде објектот патува по должината на x-оската во I сектор. Почетната брзина, vi, е брзината со која велиме дека објектот е лансиран од точката на потекло. Почетниот агол, θi, е агол на која велиме дека објектот е пуштен на слобода.  g ги претставува соодветните гравитациски повлекувања на објектот во нула-медиум.

${\displaystyle }$

Висината, h, е најголемата параболична висина, па велиме дека објектот достигнува до рамките на својата траекторија

${\displaystyle }$

Агол на надморска височина

Во однос на аголот на надморска височина ${\displaystyle }$ и почетната брзина ${\displaystyle }$:

${\displaystyle }$

давањето на спектар, како

${\displaystyle }$

Оваа равенка може да се преуреди за да се најде аголот за потребниот опсег

${\displaystyle }$ (Равенка II: аголот на проектилот на стартување)

Имајте на ум дека на синусна функција е таква што постојат две решенија за ${\displaystyle }$ за даден опсег ${\displaystyle }$. Аголот ${\displaystyle }$ што дава максимален опсег може да се најде со оглед на деривати или ${\displaystyle }$ со почит ${\displaystyle }$ и поставување на нула.

${\displaystyle }$

кој има решение на ${\displaystyle }$или ${\displaystyle }$. Максимален опсег е тогаш ${\displaystyle }$. На овој агол ${\displaystyle }$,, па максималната висина се добива дека е ${\displaystyle }$.

За да се најде аголот се даваат максимална висина за дадена брзина да се пресмета деривати од максималната висина ${\displaystyle }$ со почит ${\displaystyle }$, дека е ${\displaystyle }$ која е нула кога ${\displaystyle }$. Така максималната висина ${\displaystyle }$ се добива кога проектилот е отпуштен исправено нагоре.

Искачување/спуштање во едноличната гравитацијата во вакуум

Со оглед на аголот ${\displaystyle }$ и да се започне агол ${\displaystyle }$ како и порано, тоа може да биде прикажано дека опсегот по ридот ${\displaystyle }$ формира сооднос со оригиналниот спектар ${\displaystyle }$ заедно со имагинарна хоризонтала, како што се:

${\displaystyle }$ (Равенка 11)

Во оваа равенка, спуштање се случува кога ${\displaystyle }$ е помеѓу 0 и -90 степени. За овој опсег на ${\displaystyle }$ ние знаеме дека: ${\displaystyle }$ и ${\displaystyle }$. Така за овој опсег на ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$. На тој начин ${\displaystyle }$ е позитивна вредност смислена на опсегот на спуштање е секогаш повеќе отколку заедно на ниво на теренот. На пониско ниво на терен предизвикува проектилот да остане во воздух подолго, овозможувајќи да патуваат понатаму хоризонтално пред да удри на земјата.

Додека истата равенка се однесува на проектили испукани нагоре, толкувањето е покомплексна како понекогаш нагорниот опсег може да биде пократок или подолг од еквивалент опсег заедно на нивото на теренот. Равенката 11 може да се постави за да ${\displaystyle }$ (т.е. коса опсегот е еднаков на нивото на теренскиот опсег) и решавање за "критични агол" ${\displaystyle }$:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Равенката 11 исто така, може да се користи за да се развие "правилото на стрелецот" за мали вредности на ${\displaystyle }$ и ${\displaystyle }$ (т.е. блиску до хоризонталното отпуштање, што е случај за ситуации со многу огнени оружја). За мали вредности, и ${\displaystyle }$ и ${\displaystyle }$ имаат мала вредност и на тој начин кога се множат заедно (како во равенката 11), резултатот е речиси нула. На тој начин равенката 11  следејќи го движењето може да биде како

${\displaystyle }$

И за решавање на ниво на теренскиот опсег, ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ "правилото на стрелецот"

Така, ако стрелецот се обидува да го погоди нивото на растојанието R, s/ тој, всушност, ќе погоди во искривена цел. "Со други зборови, ако целта е во хоризонтална оддалеченост еднаква на косиот опсег на растојание помножено со косинусот на склоносниот агол, и цел како на целниот се навистина во таа хоризонтална положба."

Деривација врз основа на равенките на парабола 

Пресекот на траекторијата на проектил со еден рид може многу лесно да се добие со користење на траекторијата во параболична форма во Декартови координати (Равенка 10) исечена на ридот, на падичните линии во стандардните линеарни форми на координатите (x, y):

${\displaystyle }$ (Равенка 12) каде што во овој случај, ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ и ${\displaystyle }$

Со замена на вредноста на ${\displaystyle }$ во Равенката 10:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ (Решавање за погорното x)

Оваа вредност на x може да биде заменета назад во линеарна равенка 12 да се добијат соодветната y во координати во пресрет:

${\displaystyle }$

Сега искривениот опсег ${\displaystyle }$ е растојанието што интервенира од потеклото, што е само хипотенуза на x и y:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{s}&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {2v^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}-m\right)\right)^{2}+\left(m{\frac {2v^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}-m\right)\right)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2v^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}{\sqrt {\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}-m\right)^{2}+m^{2}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}-m\right)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2v^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}-m\right){\sqrt {1+m^{2}}}\end{aligned}}}$

Сега ${\displaystyle }$ се определува како агол на ридот, па преку дефинирање на tangent, ${\displaystyle }$. Ова може да се замени во равенката за ${\displaystyle }$:

${\displaystyle }$

Сега ова може да биде  и тригонометриски идентитет за ${\displaystyle }$  и може да се користат:

${\displaystyle }$

Сега рамниот опсег ${\displaystyle }$ од претходното се користи како тригонометриски идентитет и ${\displaystyle }$ така:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Објекти кои кружат околу

Ако наместо тоа на единствениот статус на спуштање на гравитациската сила сметаме две тела кои кружат околу со заемна гравитацијата меѓу нив, ќе ги добиеме законите за планетарните движења на Кеплер. На деривацијата на овие закони беше и еден од главните работи на Исак Њутн и обезбеди голема мотивација за развој на диференцијалната анализа.

Фаќање на топки

Ако проектил, како што е безбол или крикет топката, патува во параболичен пат, со незначителен отпорот на воздухот, и ако некој играч е поставен така што да го фати кога ќе се спушта, тој го гледа аголот на надморската височина како се зголемува постојано во текот на својот лет. Тангенсот од аголот на надморска височина е пропорционален на времето, бидејќи топката е испратена во воздухот, обично со тоа што е соочива со лилјак. Дури и кога топката е навистина опадната,  на крајот на својот лет, неговиот агол на надморска височина се гледа од страна на играчот како продолжува да се зголемува. Затоа, играчот го гледа како да се искачуваа вертикално со постојана брзина. Наоѓањето на местото од каде што се појавува топката се зголемува постојано и му помага на играчот да се позицира за правилно да ја фати. Ако тој е премногу блиску до батсменот кој ја погоди топката, таа ќе почне да расте со забрзано темпо. Ако тој е премногу далеку од батсменот, ќе почне да се забавува брзо, а потоа да се спушти.

Белешки

1. Принципите на Физиката со Rohit Metha, Глава 11 Страница 378 Став 3

Поврзано

• Исхрана-премин траекторијата
• Орбита (динамика)
• Орбита (group theory)
• Планетарната орбита
• Porkchop заговор
• Опсег на проектилот
• Цврсти тело
• Траекторијата на проектилот

Наводи

[Уреди] надворешни врски

• Проектилот Движење Флеш Аплет Архивирано на 14 септември 2008 г.:)
• Траекторијата калкулатор
• Интерактивна симулација на проектилот движење
• Проектилот Лабораторија, JavaScript траекторијата симулатор Архивирано на 20 февруари 2009 г.
• Параболична Проектилот Движење: Снимање Безопасни Tranquilizer Стрела на Паѓање Мајмун од страна на Роберто Castilla-Meléndez, Роксана Ramírez-Herrera, и Хосе Луис Gómez-Muñoz, Wolfram Демонстрации Проект.
• Траекторија, ScienceWorld.
• Java проектилот движење за симулација, со првата цел отпор на воздухот. Архивирано на 3 јули 2012 г.
• Java проектилот движење симулација; насочени кон решенија, parabola на безбедност. Архивирано на 19 февруари 2012 г.