From Wikipedia, the free encyclopedia
Систем на линеарни равенки — множество на линеарни равенки од типот:
Статии поврзани со линеарната алгебра |
Теорија на матрици |
Системи линеарни равенки |
Линеарна равенка |
Линеарни пресликувања и векторски простори |
Вектор, Скалар |
Останати статии |
Скаларен производ |
Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите , кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:
Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.
Воопштено, систем со m линеарни равенки и n непознати се запишува на следниов начин:
каде се непознатите, а броевите се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:
Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:
каде A е матрица m×n, x е вектор колона со n члена, а b е вектор колона со m члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.
Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:
Систем со облик:
се нарекува хомоген систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата A.
Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност O(n2). Некои од највообичаените специјални случаи се:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.