From Wikipedia, the free encyclopedia
Во проективната геометрија, хармонично конјугирана точка или хармоничен конјугат на подредена тројка точки на реалната проективна права се дефинира со следнава конструкција:
Точката D не зависи од тоа која точка L првично се зема, ниту пак од правата повлечена низ C која се користи за да се најдат M и N. Овој факт произлегува од теоремата на Дезарг .
Во реалната проективна геометрија, хармоничната конјугација може да се дефинира и преку двоен однос како (A, B; C, D) = −1 .
Четирите точки понекогаш се нарекуваат хармонична четворка (на реалната проективна права) бидејќи, како што се докажува, D секогаш ја дели отсечката AB внатрешно во ист сооднос како што C ја дели AB надворешно . Тоа значи:
Ако на овие отсечки им се даде обична метричка интерпретација на реалните броеви, тие ќе одговараат на реални броеви и ќе формираат двојна пропорција позната како двоен однос (понекогаш наречен двоен сооднос)
кој за хармонична четворка има вредност − 1. Затоа пишуваме:
Вредноста на двојниот однос генерално не е единствена, бидејќи зависи од редоследот на избор на отсечките (и можни се шест такви избора). Но, специјално за хармоничните четворки постојат само три вредности на двојниот однос: {−1, 1/2, 2}, бидејќи − 1 е инверзна сама на себе па смената на последните две точки само ја враќа секоја од овие вредности, но не произведува нова вредност, и класично е познат како хармоничен двоен однос.
Изразен преку двоен однос, за дадени точки a и b на афина права, односот на делење [2] на точка x е:
Забележете дека кога a < x < b, тогаш t(x) е негативен; инаку, t(x) е позитивен. Двојниот однос е однос на односите на делење или двоен однос. Двојниот однос е -1 кога t(c) + t(d) = 0, а тогаш c и d се хармониски конјугирани во однос на a и b. Значи, критериумот за односот на поделба е тие да бидат адитивно инверзни .
Хармоничното делење на отсечка е посебен случај на Аполониевата дефиниција за кругот .
Во некои училишни студии конфигурацијата на хармонична четворка се нарекува хармонска поделба .
Кога x е средна точка на отсечката од a до b, тогаш
Според критериумот за двоен однос, y ќе биде хармониски конјугирана на x кога t(y) = 1. Но, не постои конечно решение за y на правата преку a и b . Сепак,
со што се мотивира вклучување на бесконечна точка на проективната права. Бесконечната точка служи како хармонично конјугирана на средната точка x.
Друг пристап кон хармонискиот конјугат е преку концептот на комплетен четириаголник како што е KLMN на горниот дијаграм. Врз основа на четири точки, комплетниот четириаголник има парови од спротивни страни и дијагонали. Во изразувањето на хармоничните конјугати од H. S. M. Coxeter, дијагоналите се сметаат за пар спротивни страни:
Карл фон Стаудт прв го употребил хармонискиот конјугат како основа за проективната геометрија независно од метричките размислувања:
За да го видите целосниот четириаголник применет за добивање на средната точка, разгледајте го следниов пасус од Џ. В. Јанг:
Четири подредени точки на проективен опсег се нарекуваат хармонични точки кога има тетрастигма во рамнината таква што првата и третата се коточки, а другите две точки се на конекторите на третата коточка.[5]
Ако p е точка која не е на правата со хармонични точки, спојувањата на p со точките се хармонични прави. Слично на тоа, ако оската на сноп од рамнини е закривена кон права со хармонични точки, рамнините на точките се хармонични рамнини.[5]
Множеството од четири елемента во таква врска се нарекува хармонична четворка .[6]
Коника во проективната рамнина е крива C која го има следново својство: Ако P е точка која не е на C, и ако променлива права низ P се сече со C во точките A и B, тогаш променливата хармонична конјугирана точка на P во однос на A и B формира права. Точката P се нарекува пол на таа права на хармонични конјугати, а оваа права се нарекува поларна права на P во однос на кониката. Видете ја статијата Пол и полара за повеќе детали.
Во случај кога кониката е кружница, на продолжените дијаметри на кружницата, хармоничните конјугати во однос на кружницата се инверзни во однос на кружницата. Овој факт произлегува од една од теоремите на Смогоржевски:[7]
Тоа значи дека, ако правата е продолжен дијаметар на k, тогаш пресеците со q се хармониски конјугирани.
Во геометријата на Галуа над полето на <a href="./Галоа_геометрија" rel="mw:WikiLink" data-linkid="91" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Galois geometry&quot;,&quot;thumbnail&quot;:{&quot;source&quot;:&quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Fano_plane.svg/80px-Fano_plane.svg.png&quot;,&quot;width&quot;:80,&quot;height&quot;:73},&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q1973616&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}{{Мртва_врска|date=July 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}" class="cx-link" id="mw_Q" title="Галоа геометрија">Галуа</a> GF(q) правата има q + 1 точки, каде што ∞ = (1,0) . На оваа права четири точки формираат хармонска тетрада кога две хармонично ги делат другите две. Условот
ги карактеризира хармоничните тетради. Вниманието на овие тетради го навело Jean Dieudonné до неговото разграничување на некои случајни изоморфизми на проективните линеарни групи PGL(2, q) за q = 5, 7, 9 .
Ако q = 2n и дадени се A и B, тогаш C е хармониски конјугирана на самата себе.[8]
Нека P0, P1, P2 се три различни точки на реалната проективна права. Разгледајте ја бесконечната низа од точки Pn, каде што Pn е хармониски конјугирана на Pn-3 во однос на Pn-1, Pn-2, за n > 2.Оваа низа е конвергентна.[9]
За конечна граница P имаме
каде е златниот однос, т.e. за голем n. Граничната вредност кон бесконечност е
За доказ се зема проективниот изоморфизам:
каде
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.