From Wikipedia, the free encyclopedia
Во геометријата, пол и полара се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .
Поларната реципрочност во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.
Полот и поларата имаат неколку корисни својства:
Полот на правата L во кружницата C е точка Q која е инверзна во однос на C на точката P која лежи на L и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, поларата (или поларната права) на точката Q во кружницата C е правата L таква што нејзината најблиска точка P до центарот на кружницата е инверзијата на Q во C.
Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката A лежи на поларата q на точката Q, тогаш точката Q мора да лежи на поларата a на точката A. Двете поларни прави a и q не мора да бидат паралелни.
Постои уште еден опис на поларата на точка P во случај таа да лежи надвор од кружницата C. Во овој случај, има две прави низ P кои се тангенти на кружницата, а поларата на P е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата C.
Концептите пол и негова полара биле унапредени во проективната геометрија . На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како поларност.
За некоја точка P и нејзината полара p, која било друга точка Q на p е пол на правата q која минува низ P. Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.[1]
Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .
Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (x, y) на рамнинатакаде A xx, A xy, A yy, B x, B y и C се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка (ξ, η) е дефинирана со равенкатакаде што D, E и F се исто така константи кои зависат од координатите на полот (ξ, η)
Полот на правата , во однос на недегенерираниот конусен пресекможе да се пресмета во два чекора.
Прво, се пресметуваат броевите x, y и z одПолот е точката со координати
коник | равенка | полара на точката |
---|---|---|
кружница | ||
елипса | ||
хипербола | ||
парабола |
коник | равенка | пол на правата u x + v y = w |
---|---|---|
кружница | ||
елипса | ||
хипербола | ||
парабола |
За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три диагонални точки. За дадена точка Z која не е на коникот C, нацртајте две секанти низ Z кои го сечат C во точките A, B, D и E . Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со Z како една од диагоналните точки. Правата која ги спојува другите две диагонални точки е поларата на Z, а Z е полот на оваа права.[2]
Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј .[3]
Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција.[4] Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.