Матрица-ред
Матрицата која има само еден ред се нарекува матрица-ред[3] или вектор-редица.
Значи,
e матрица-ред ако
, т.е.
.
На пример, матрица-ред e
.
Матрица-колона
Матрицата која има само една колона се нарекува матрица-колона[4] или вектор-колона.
Значи,
e матрица-ред ако
, т.е.
.
На пример, матрица-колона е
.
Транспонирана матрица
Матрицата
се вика транспонирана матрица на матрицата
.
Единична матрица
Кај квадратна матрица елементите
се нарекуваат елементи на главната дијагонала. Квадратната матрица од ред
кај која елементите на главната дијагонала се единици, а сите останати елементи се нули, се нарекува единична матрица од ред
и се означува со
. Значи,
каде
и
ако
. На пример, единични матрици се следниве:
![{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e7cbed13b2f1ebfd2280887ba113427c7378ff)
Над матриците се извршуваат операциите собирање и множење со број (скалар).
Собирање на матрици
Собирањето е операција дефинирана на множеството од матрици од ист ред. Збир на матрици од различен ред не е дефиниран. Собирањето се врши по соодветните членови. Така, ако се дадени две матрици од ист ред,
и
, тогаш нивниот збир е матрица
од ред
составена од елементите
.
Значи,
[6]
Пишуваме
.
Аналогно, разлика на матриците
и
е матрицата
составена од елементите
.
Посликовито, собирањето на матриците се врши на следниов начин:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4c5439da8505703fe4b337b8f907b5fffa64a9)
а при одземање имаме
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots &a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots &a_{2n}-b_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&\cdots &a_{mn}-b_{mn}\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22479a506ced25cc2c45b47522a8087736c774f3)
За собирањето на матрици важат следниве својства:[7]
(комутативен закон),
(асоцијативен закон).
Множење на матрици
Множење на две матрици може да се дефинира само под одредени услови: матрицата која е прв множител мора да има ист број на колони колку што изнесува бројот на редици матрицата која е втор множител. Матрицата-производ која се добива при множењето има:
- онолку редици колку што има редици во првиот множител,
- онолку колони колку што има матрицата која е втор множител.
Поинаку кажано: нека
и нека
. Тогаш, производот
постои ако и само ако
Притоа, за членовите на матрицата-производ важи
![{\displaystyle A\times B=C=\left[c_{ij}\right]_{m\times q}\Leftrightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\,\,\ i=1,2,...,m,\,\,\,\,\ j=1,2,...,q\,,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb4b3ff7cfeacb1c896f9ed836ef2b741f1a47b)
т.е. елементот
кој е во
-тата редица и
-тата колона на матрицата-производ
се добива кога секој од елементите на
-тата редица на матрицата
(првиот множител) ќе се помножи со соодветниот елемент од
-тата колона на матрицата
(која е втор множител) и така добиените производи ќе се соберат.[9]
Попросто кажано, множењето на матрици се врши редица-по-колона. Малку поопширно напишано, ако
, тогаш производот
може да се запише како:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1q}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nq}\end{bmatrix}}_{n\times q}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bd1574e7614922a96f4a36353702143d574bc0)
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\cdots a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1q}+a_{12}b_{2q}+\cdots a_{1n}b_{nq}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+\cdots a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1q}+a_{22}b_{2q}+\cdots a_{2n}b_{nq}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+a_{m2}b_{21}+\cdots a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+a_{m2}b_{22}+\cdots a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1q}+a_{m2}b_{2q}+\cdots a_{mn}b_{nq}\\\end{bmatrix}}_{m\times q}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c19609b2b3c786966a03bf89bb9f882a6faab5)
Следствено, за множењето матрици во општ случај не важи комутативниот закон или множењето не е комутативно (производот може да не е дефиниран ако се смени редоследот на множителите). Комутативниот закон може да важи само ако матриците имаат по ист број на редици и колони, т.е. ако се квадратни.
Слично како кај множењето со скалар, знакот за множење меѓу матриците може да се испушти. Понекогаш знакот за множење се означува со
.
Ако
се матрици, и
е скалар, тогаш важат следниве својства за множењето на матрици:[10]
- асоцијативен закон
- лево дистрибутивно својство
- десно дистрибутивно својство
![{\displaystyle \alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479d638b609f8dac26cb597bc628362b72ac248e)
- Производот на секоја матрица
со соодветната единична матрица е еднаков на самата матрица, т.е.
[11]
Во определени случаи, особено кога во матричен облик е претставен систем од линеарни равенки или кога се бара ранг на матрица или инверзна матрица, од особено значење се неколку видa операции со редиците на матрицата, наречени елементарни трансформации на редиците на матрицата:[12]
- меѓусебна промена на местоположбата на две редици
- множење на редица на матрицата со некоја константа
- собирање на една редица од матрицата со производот на константа и друга редица од матрицата
Нека
е квадратна матрица од ред
. Ако постои матрица
таква што
, тогаш матрицата
се нарекува инверзна матрица на матрицата
и се означува со
. Притоа, само квадратните матрици можат (но не мора) да имаат инверзни матрици. Ако матрицата
има инверзна матрица
, тогаш
е единствена. Ако за матрицата
постои инверзната матрица
, тогаш
се нарекува инвертибилна или несингуларна матрица. Ако за матрицата
не постои инверзна матрица, велиме дека
е сингуларна.
Матрица
е несингуларна ако и само ако нејзината детерминанта е различна од нула, т.е.
.
Постојат повеќе начини за наоѓање на инверзната матрица на дадена инвертибилна матрица
од ред
. Еден од нив е методот на Гаус-Жорданова елиминација кој се состои од следниве чекори:
- најпрвин ја прошируваме матрицата до матрица од ред
така што на матрицата
од десната страна ѝ се додава единичната матрица од ред
и се добива матрицата
.
- со помош на елементрани операции на редиците, матрицата A се трансформира до единичната матрица, а паралелно преку истите трансформации матрицата
ќе се трансформира до
па од матрицата
ќе се добие матрицата
.
Постојат и други методи за пресметување на инверзна матрица како на пример методите на Њутн, Кејли-Хамилтон, Шолески, аналитичките методи, методот со инверзни базни вектори, преку редовите на Нојман итн.
За инвертибилните матрици од понизок ред постојат директни формули за пресметување на инверзна матрица. На пример, нека
e инвертибилна матрица од ред
, т.е.
. Инверзната матрица
се пресметува со следнава формула:[13]![{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3925ca0ac87234e8196a0650ef7c039d7faed34)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83f2e2f4cb2d3e89d7bc7e5ebd712a0d36be49b)