Евклидова геометрија

Евклидовата геометрија или елементарната геометрија е математички систем разработен во Египет од древногрчкиот математичар Евклид од Александрија. Неговото дело „Елементи“ е најраниот составен систематски текст за геометрија, кој станал една од највлијателните книги во историјата на човештвото.

Евклид воведува мал број на аксиоми и врз основа на нив докажува многу други тврдења (теореми). Иако многу од резултатите кој ги добил Евклид биле утврдени од други грчки математичари пред него, тој прв покажал како овие тврдења можат да се нападнат заедно во еден општ дедуктивен и логички систем.

Историјат и развој

Сликата на Рафаел Санти, каде е претставен Евклид во Атинската школа.

„Елементите“ на Евклид започнуваат со геометрија на рамнината и ги содржат првите примери за математички докази. Тие вклучуваат и геометрија на просторот во тридимензионално пространство, наречена уште и стереометрија. Евклидовата геометрија е проширена и за некои крајни мерења. Голем дел од „Елементите“ содржи резултати од денешната теорија на броеви, докажани со геометриски методи.

За повеќе од 2000 години, геометријата на Евклид останува непроменета, бидејќи никој не можел да си претстави постоење на други видови на геометрија. Аксиомите на Евклид се очигледни, секојдневната практика не убедува на апсоутен начин во нивната точност.

Во евклидовата геометрија, изложена во делото на Евклид „Елементи“, тој се стреми да ги изведе од 5 аксиоми и 5 постулати сите останати геометриски тврдења. Геометрите по него се збунети од сложеноста на Петтиот постулат и со векови се обидуваат да го докажат како теорема врз основа на останатите четири. Првобитната формулација на овој постулат е следната: „Ако една права линија паѓа над две прави линии така што внатрешните агли од едната страна заедно се помали од два прави агли, тогаш правите линии, ако се продолжат бескрајно, се среќаваат на страната од која аглите се помали од два прави агли.“

Други математичари даваат поедноставни еквивалентни формулации на овој „постулат на паралелноста“. На пример, ако се дадени права l и точка A што не лежи на неа, тогаш низ А може да се повлече само една права, паралелна на l (аксиома на паралелните прави).

Николај Иванович Лобачевски ја смета аксиомата за паралелните прави на Евклид како ограничување. Според него, таа е мошне силно барање, кое ги ограничува можностите на опишување на својствата на просторот. Тој ја заменува оваа аксиома со поопштото тврдење, според кое во рамнината преку точка, која лежи на дадена права, минува повеќе од една права која не ја пресекува дадената права. Врз основа на ова тврдење, тој изградува нова геометрија, коренито различна од Евклидовата, која денес заслужно го носи неговото име.

Лобачевски не е единствениот истражувач во оваа нова област на математиката. Независно од него, унгарскиот математичар Јанош Бојаи во 1832 година го објавува својот труд на тема неевклидова геометрија. Големиот германски математичар Карл Фридрих Гаус во исто време доаѓа до резултатите на Лобачевски, но се плаши дека нема да биде разбран и не ги објавува своите истражувања. Тој и дава висока оценка на работата на Лобачевски.

Денес се познати многу неевклидови геометрии, создадени на почетокот на XIX век. Сега е познато дека евклидовите аксиоми не важат при движења со брзини кои се доближуваат до брзината на светлината. Ова е докажано и од општата теорија на релативноста, а е потврдено и од набљудувања и експерименти. Тие важат само за својствата на физичкото пространство во гравитациското поле.

Аксиоми

Евклидовата геометрија се основа на 22 аксиоми.