Биномна распределба
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
Биномна распределба B(n, p ), n∈ℕ, p∈(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува n пати Бернулиев опит со веројатност на успех p запишувајќи го бројот k на успеси во n-тите повторувања.[1]
Биномна распределба | |
---|---|
![]() Закон на распределба (pdf) | |
![]() Кумулативна распределба (cdf) | |
Тип | Дискретна |
Означување | B(n, p ) |
Параметри | p∈[0,1] = веројатност на успех по опит, n∈ℕ = број повторување на опитот |
Поддршка | k∈{0,1,2,...,n} |
k=0,1,2,...,n | |
CDF | |
μ | np |
σ2 | np(1 − p) |
Асиметрија | |
Сплоснатост |
Пример: B(5;0,8).
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
00000 | 10000 | 11000 | 00111 | 01111 | 11111 | |
01000 | 10100 | 01011 | 10111 | |||
00100 | 10010 | 01001 | 11011 | |||
00010 | 10001 | 01110 | 01110 | |||
00001 | 01100 | 10011 | 11110 | |||
01010 | 10101 | |||||
01001 | 10110 | |||||
00110 | 11001 | |||||
00101 | 11010 | |||||
00011 | 11100 | |||||
# | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
B(5;0,8) значи биномен опит каде што се повторува n=5 пати Бернулиев опит со p=0,8. Има n+1=5+1=6 исходите, т.е. случајната променлива е X={0,1,2,3,4,5}. Елементот k=0 на Х е исходот каде што во 5-те повторувања на Бернулиевиот опит, немале ниту еден успех, елементот k=1 е каде што имало точно еден успех, ..., а елементот k=5 е каде што во 5-те повторувања на опитот сите биле успешни.
Во табелата се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит). Овие не се исходи на биномниот опит, бидејќи во опитот редоследот не е важен. Тука само гледаме на колку начини можат да се добијат k успеси во n повторувања. На пример, има само еден начин да се добие k=0, односно сите исходи на опитот да се неуспеси 00000.
Следува дека веројатноста на секоја елемент k на Х e производот на овие два броја, односно
Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.[2]
PDF на B(n,p) | ||
---|---|---|
X=k | Биномен коефициент | Pr(X=k)=f(k) |
0 | ||
1 | ||
2 | ||
... | ... | ... |
n |
Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.
CDF на B(n,p) | ||
---|---|---|
x∈ℝ | F(x) | |
x<0 | 0 | |
0≤x<1 | (1-p)n | |
... | ... | |
x≥n | 1 |
Пример (прод.): B(5,0.8) Приказ на распределбите, ...
Очекувана вредност: | E(x)=np=5·0,8=4 |
Дисперзијата е: | σ2=np(1-p)=5·0,8·0,2=0,8 |
Стандардното отстапување е: | σ ≈ 0,89 |
Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста во пет стрелања стрелецот да ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5;0,8) и 1-Pr(x<3)=1-0,0579=0,9421=94,2%.
За графички приказ на PDF-от, т.е. законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на биномна распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.[5]
Дефиниции специфични за биномната распределба се:
n=10 (или соодветен лизгач)
p=0,8 (или соодветен лизгач)
N=n+1
list1=Sequence[k-1,k,1,N] Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.
list2=Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n] Ја дефинира list2 со веројатностите.
Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:
листа1=Низа[k-1,k,1,N]
листа2=Низа[БиноменКоефициент[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]
Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.