Keplera likumi

Keplera likumi ir vācu astronoma Johannesa Keplera atklātās likumsakarības, kas apraksta planētu kustību ap zvaigzni.

1. Keplera likums - Saule atrodas elipses fokusā;
2. Keplera likums - ja elipses līniju sadala stroboskopiskos punktos (vienāds laika intervāls starp punktiem) un tos savieno ar Sauli, visi laukumi būs vienlieli.

Keplera pirmais likums (elipses likums)

Planēta kustas ap zvaigzni pa elipsi, kuras vienā fokusā atrodas zvaigzne.

Keplera otrais likums (vienādo laukumu likums)

Planētas savā kustībā ap Sauli pārvietojas tā, ka vienādos laika sprīžos to rādiusvektori (vektors no Saules masas centra līdz planētas masas centram) pārklāj vienādus laukumus orbītas plaknē.

Otrā likuma izvedums

Mazā laika intervālā ${\displaystyle dt}$ planēta iezīmē mazu taisnleņķa trijstūri ar pamatu ${\displaystyle r}$ un augstumu ${\displaystyle rd\theta }$ tādēļ laukumu aprēķina pēc: ${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\ d\theta }$. Pierakstot kā izmaiņu laikā: ${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}}$. Elipses orbītas laukums ir ${\displaystyle \pi ab}$, tādēļ periodā ${\displaystyle T}$ izpildās ${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab}$. Izsakot laukumu: ${\displaystyle {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\pi ab}{T}}={\frac {dA}{dt}}}$, tā kā ${\displaystyle {\frac {\pi ab}{T}}}$ ir konstante (nav atkarīga no laika), tad arī iezīmētais laukums nav atkarīgs no laika.

Keplera trešais likums (harmonijas likums)

Logaritmisks grafiks, kur uz x ass ir lielās pusass un uz y ass ir orbītu periods. Ilustrācija parāda, ka a³/T² = konstante(zaļās līnijas stāvums nemainās)

Divu planētu apriņķošanas periodu kvadrāti attiecas tāpat kā to orbītu lielo pusasu kubi.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$, kur ${\displaystyle T_{1}}$ un ${\displaystyle T_{2}}$ — divu planētu apriņķošanas periodi ap Sauli, ${\displaystyle a_{1}}$ un ${\displaystyle a_{2}}$ — to orbītu lielo pusasu garumi.

Riņķa orbītas gadījuma izvedums

Lai gan planētas kustas ap zvaigzni pa elipsi, to orbītām parasti nav liela ekscentricitāte un tās līdzinās riņķim. Izmantojot vispasaules gravitācijas likumu:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$, var iegūt paātrinājumu planētai ${\displaystyle a_{p}=G{\frac {m_{z}}{r^{2}}}}$, kur ${\displaystyle a_{p}}$ ir paātrinājums planētai un ${\displaystyle m_{z}}$ ir masa zvaigznei. Tā kā planēta orbitē ap zveigzni, tās paātrinājums darbojas kā centrtieces paātrinājums ${\displaystyle a_{p}=a_{c}=V^{2}/r}$, kur ${\displaystyle a_{c}}$ ir centrtieces paātrinājums, ${\displaystyle V}$ ir planētas ātrums un ${\displaystyle r}$ ir planētas attālums no zvaigznes. Planēta kustās pa riņķa līniju, tādēļ ātrumu var arī pierakstīt kā ${\displaystyle V={\frac {2\pi r}{T}}}$, kur ${\displaystyle T}$ ir planētas apriņķošanas periods. Ievietojot planētas paātrinājuma vienādojumā centrtieces paātrinājumu un aizstājot ātrumu ar ceļa un laika izteiksmi iegūst:

${\displaystyle {\frac {4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}r}}=G{\frac {m_{z}}{r^{2}}}}$ un ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{Gm_{z}}}}$. Izteiksmes labā puse ir konstante visām planētām, kas riņķo ap zvaigzni, pieņemot, ka orbīta ir riņķis.

Vēsture

Johanness Keplers pēc dāņu astronoma Tiho Brahes nāves 1601. gadā sāka pētīt slavenā astronoma ilggadīgos pierakstus, kuros bija precīzi planētu kustību novērojumi. Kad Keplers atzīmēja Marsa stāvokli noteiktos laika brīžos uz lielas papīra lapas, tad ideāla apļa vietā (kā līdz tam tika uzskatīts) uz lapas iezīmējās elipse. Atzīmējot Saules stāvokli attiecībā pret šo elipsi, tā atradās precīzi vienā elipses fokusā. Turpmākā analīze Kepleru noveda pie otrā un trešā likuma. Šos pētījumus viņš publicēja grāmatā Astronomia Nova (Jaunā astronomija), kas tika izdota 1609. gadā.

Šo planētu kustības likumu atklāšana bija svarīgs solis heliocentrisma attīstībā.